《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. (多选)下列结论，其中正确的为 (CD)

A.$y=\ln2$，则$y^{\prime}=\frac{1}{2}$
B.$y=(\frac{1}{2})^{x}$，则$y^{\prime}=-\frac{1}{2}\ln2$
C.$y=\frac{1}{x^{2}}$，则$y^{\prime}\big|_{x=3}=-\frac{2}{27}$
D.$y=\sin x$，则$y^{\prime}=\cos x$

答案： 1. CD 由导数的运算公式可知，由$y = \ln 2$，则$y' = 0$，所以A错误；由$y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$，则$y' = -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\ln 2$，所以B错误；其他选项均正确.

2. 若$y=\log_{3}x$，则$y^{\prime}=$$\dfrac{1}{x\ln 3}$.

答案： 2. $\dfrac{1}{x\ln 3}$ $y' = (\log_{3}x)' = \dfrac{1}{x\ln 3}$.

例1 求下列函数的导数：
(1)$y = (\frac{1}{5})^{x}$；
(2)$y=\lg x$；
(3)$y=\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$；
(4)$y = 2\cos^{2}\frac{x}{2}-1$.
▶[方法总结1]

答案： 例1：【解析】
(1)$y' = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x}\ln \dfrac{1}{5} = -\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x}\ln 5$.
(2)$y' = \dfrac{1}{x\ln 10}$.
(3)因为$y = \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{2}}$，所以$y' = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)' = \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$.
(4)因为$y = 2\cos^{2}\dfrac{x}{2} - 1 = \cos x$，所以$y' = (\cos x)' = -\sin x$.

求简单函数的导数的方法
(1)若所给函数符合导数公式，则直接利用公式求导；
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
跟踪训练1
求下列函数的导数
(1)$y=\ln2023$；
(2)$y = 4^{x}$；
(3)$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$；
(4)$y=\cos(\frac{\pi}{2}-x)$.

答案： 跟踪训练1：【解析】
(1)因为$y = \ln 2023$是常数，所以$y' = (\ln 2023)' = 0$.
(2)因为$y = 4^{x}$，所以$y' = 4^{x}\ln 4$.
(3)因为$y = \dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$，所以$y' = \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)' = -\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$.
(4)因为$y = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$，所以$y' = \cos x$.