《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动。我们知道，在等差数列$\{ a_{n}\}$中，若$m + n = s + t$，则$a_{m} + a_{n} = a_{s} + a_{t}$，那么在等比数列$\{ a_{n}\}$中是否具有类似的性质呢？
[提示]
在等比数列$\{ a_{n}\}$中，若$m + n = s + t(m,n,s,t\in\mathbf{N}^{*})$，则$a_{m}a_{n}=a_{s}a_{t}$。

答案： 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，若$m + n = s + t(m,n,s,t\in\mathbf{N}^{*})$，则$a_{m}a_{n}=a_{s}a_{t}$。

知识点一 等比数列项的运算性质
设等比数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比为$q$。
1. 等比数列通项公式的推广和变形$a_{n}=$$a_{n}q^{n - m}$。
2. 若$m + n = k + l(m,n,k,l\in\mathbf{N}^{*})$，则$a_{m}a_{n}=a_{k}a_{l}$。
特别的，若$m + n = 2k(m,n,k\in\mathbf{N}^{*})$，则$a_{m}a_{n}=$$a_{k}^{2}$。
3. 下标成等差数列的项$a_{k},a_{k + m},a_{k + 2m},·s$构成以$q^{m}$为公比的等比数列。
[知识点反思 1]
(1) 下标和相等且左右两侧项数相同时，性质 2 可以推广，如：$m + n + p = x + y + z$，则$a_{m}a_{n}a_{p}=a_{x}a_{y}a_{z}$；
(2) 在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即$a_{1}· a_{n}=a_{2}· a_{n - 1}=·s$。

答案： 1. $a_{n}q^{n - m}$
2. $a_{k}^{2}$
3. $q^{m}$

知识点二 由等比数列衍生的新数列
设等比数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比为$q$。
1. 对于无穷等比数列$\{ a_{n}\}$，若将其前$k$项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为$a_{k + 1}$，公比为q；
2. 若取出所有的$k$的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为$a_{k}$，公比为$q^{k}$；
3. 若数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$均为等比数列，$c$是非零常数，则数列$\{ ca_{n}\}$，$\{ a_{n}^{2}\}$，$\{ a_{n}· b_{n}\}$，$\left\{\dfrac{a_{n}}{b_{n}}\right\}$也为等比数列；
4. 若数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，则数列$\{ b^{a_{n}}\}(b ＞ 0$且$b\neq 1)$一定是等比数列；
5. 若数列$\{ a_{n}\}$是各项为正数的等比数列，那么数列$\{ \log$${b}a_{n}\}(b ＞ 0$且$b\neq 1)$一定是等差数列。
[知识点反思 2]
(1) 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，依次每$k(k\in\mathbf{N}^{*})$项的和（或积）构成公比为$q^{k}$（或$q^{k^{2}}$）的等比数列；
(2) 两个项数相同的等比数列$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$对应项相加构成的新数列$\{ a_{n} + b_{n}\}$不一定是等比数列。

答案： 1. $q$
2. $q^{k}$
4. 等比
5. 等差