《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 等差数列$\{ a_n \}$的前 4 项和是 2，前 8 项和是 10，则$S_{12} =$

A.12
B.18
C.24
D.40

答案： 1. C 由题意知，等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_4=2$，$S_8=10$。由等差数列的性质，得$S_4$，$S_8 - S_4$，$S_{12} - S_8$成等差数列，即$2$，$8$，$S_{12} - 10$成等差数列，所以$2 + (S_{12} - 10) = 2 × 8$，解得$S_{12}=24$。

2. (多选)设$\{ a_n \}$是等差数列，$S_n$为其前$n$项和，且$S_5 ＜ S_6 = S_7 ＞ S_8$，则下列结论正确的有

A.$d ＜ 0$
B.$a_7 = 0$
C.$S_9 ＞ S_5$
D.$S_6$与$S_7$均为$S_n$的最大值

答案： 2. ABD $\because S_5 ＜ S_6 = S_7 ＞ S_8$，$\therefore a_6 ＞ 0$，$a_7 = 0$，$a_8 ＜ 0$，$\therefore d ＜ 0$，$\therefore S_6$与$S_7$均为$S_n$的最大值。$S_9 - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 = 2(a_7 + a_8) ＜ 0$，$\therefore S_9 ＜ S_5$，故选ABD。

例 1 已知$S_n$是等差数列$\{ a_n \}$的前$n$项和，且$S_{10} = 100,S_{100} = 10$，求$S_{110}$.
[方法总结 1]

答案： 例1：【解析】 方法一：设等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，
$\because S_{10}=100$，$S_{100}=10$，
$\therefore \begin{cases} 10a_1 + \frac{10(10 - 1)}{2}d = 100, \\ 100a_1 + \frac{100(100 - 1)}{2}d = 10, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a_1 = \frac{1099}{100}, \\ d = -\frac{11}{50}. \end{cases}$
$\therefore S_{110} = 110a_1 + \frac{110(110 - 1)}{2}d = 110 × \frac{1099}{100} + \frac{110 × 109}{2} × \left(-\frac{11}{50}\right) = -110$。
方法二：设等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n = An^2 + Bn$。
由题设条件可知$\begin{cases} 100A + 10B = 100, \\ 10000A + 100B = 10, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A = -\frac{11}{100}, \\ B = \frac{111}{10}. \end{cases}$
故$S_{110} = -\frac{11}{100} × 110^2 + \frac{111}{10} × 110 = -110$。
方法三：$S_{10}$，$S_{20} - S_{10}$，$S_{30} - S_{20}$，$·s$，$S_{100} - S_{90}$，$S_{110} - S_{100}$，$·s$成等差数列，
设公差为$d$，
$\therefore$该数列的前10项和为$10 × 100 + \frac{10 × 9}{2}d = S_{100} = 10$，
解得$d = -22$，
$\therefore$前11项和$S_{110} = 11 × 100 + \frac{11 × 10}{2} × (-22) = -110$。
方法四：由$\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$也是等差数列，构造新的等差数列$\frac{S_{10}}{10} = 10$，$\frac{S_{100}}{100} = \frac{1}{10}$，
则$d = \frac{\frac{1}{10} - 10}{100 - 10} = -\frac{11}{100}$，
所以$\frac{S_{110}}{110} = \frac{S_{100}}{100} + 10d = \frac{1}{10} + \left(-\frac{11}{10}\right) = -1$，
所以$S_{110} = -110$。

跟踪训练 1
已知等差数列$\{ a_n \}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 = -10$，$\frac{S_3}{3} - \frac{S_2}{2} = 1$，则$S_{10} =$$-10$

答案： 跟踪训练1：$-10$ 在等差数列中，因为$a_1 = -10$，$\frac{S_3}{3} - \frac{S_2}{2} = 1$，所以$\frac{S_1}{1} = -10$，所以$\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$是以$-10$为首项，$1$为公差的等差数列，所以$\frac{S_{10}}{10} = -10 + 9 × 1 = -1$，$S_{10} = -10$。

例 2 在等差数列$\{ a_n \}$中，$a_1 = 25$，$S_8 = S_{18}$，求前$n$项和$S_n$的最大值.
[方法总结 2]

答案： 例2：【解析】 方法一：因为$S_8 = S_{18}$，$a_1 = 25$，
所以$8 × 25 + \frac{8 × (8 - 1)}{2}d = 18 × 25 + \frac{18 × (18 - 1)}{2}d$，
解得$d = -2$。
所以$S_n = 25n + \frac{n(n - 1)}{2} × (-2) = -n^2 + 26n = -(n - 13)^2 + 169$。
所以当$n = 13$时，$S_n$有最大值为$169$。
方法二：同方法一，求出公差$d = -2$。
所以$a_n = 25 + (n - 1) × (-2) = -2n + 27$。
因为$a_1 = 25 ＞ 0$，
由$a_n = -2n + 27 \geq 0$，得$n \leq 13\frac{1}{2}$，
由$a_n = -2n + 27 ＜ 0$，得$n ＞ 13\frac{1}{2}$，
又因为$n \in \mathrm{N}^*$，数列$\{a_n\}$前13项为正数，从第14项开始为负数，
所以当$n = 13$时，$S_n$有最大值为$169$。
方法三：因为$S_8 = S_{18}$，
所以$a_9 + a_{10} + ·s + a_{18} = 0$。
由等差数列的性质得$a_{13} + a_{14} = 0$。
因为$a_1 ＞ 0$，所以$d ＜ 0$。
所以$a_{13} ＞ 0$，$a_{14} ＜ 0$。
所以当$n = 13$时，$S_n$有最大值。
由$a_{13} + a_{14} = 0$，
得$a_1 + 12d + a_1 + 13d = 0$，
解得$d = -2$，
所以$S_{13} = 13 × 25 + \frac{13 × 12}{2} × (-2) = 169$，
所以$S_n$的最大值为$169$。
方法四：设$S_n = An^2 + Bn$。
因为$S_8 = S_{18}$，$a_1 = 25$，
所以借助二次函数图象知对称轴为$n = \frac{8 + 18}{2} = 13$，且开口方向向下，
所以当$n = 13$时，$S_n$取得最大值。
由题意得$\begin{cases} 8^2A + 8B = 18^2A + 18B, \\ A + B = 25, \end{cases}$
解得$\begin{cases} A = -1, \\ B = 26, \end{cases}$
所以$S_n = -n^2 + 26n$，
所以$S_{13} = 169$，
即$S_n$的最大值为$169$。

跟踪训练 2
在等差数列$\{ a_n \}$中，$a_1 = 7$，公差为$d$，前$n$项和为$S_n$，当且仅当$n = 8$时，$S_n$取得最大值，则公差$d$的取值范围是$-1 ＜ d ＜ -\frac{7}{8}$.

答案： 跟踪训练2：$-1 ＜ d ＜ -\frac{7}{8}$ 由题意，当且仅当$n = 8$时，$S_n$有最大值，可知$\begin{cases} d ＜ 0, \\ a_8 ＞ 0, \\ a_9 ＜ 0, \end{cases}$即$\begin{cases} d ＜ 0, \\ 7 + 7d ＞ 0, \\ 7 + 8d ＜ 0, \end{cases}$解得$-1 ＜ d ＜ -\frac{7}{8}$。