《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1.函数$y = x^4 + \sin x$的导数为(D)

A.$y' = 4x^3$
B.$y' = \cos x$
C.$y' = 4x^3 + \sin x$
D.$y' = 4x^3 + \cos x$

答案： 1. D

2.已知$f(x) = x\sin x$，则$f'(x) =$$ \sin x + x\cos x $.

答案： 2. $ \sin x + x\cos x $

3.若$f(x) = \frac{x}{e^x}$，则$f'(x) =$$ \frac{1 - x}{e^x} $.

答案： 3. $ \frac{1 - x}{e^x} $ $ f'(x) = \frac{e^x - xe^x}{(e^x)^2} = \frac{1 - x}{e^x} $

例1.求下列函数的导数：
(1)$y = x^5 - x^3 + \cos x$；
(2)$y = (2x^2 - 1)(3x + 1)$；
(3)$y = \frac{e^x}{x}$；
(4)$y = x^2 + x\ln x$.
[方法总结1]
利用导数的四则运算法则求函数导数的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式；
(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等；
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，尽量少用积、商的求导法则求导.

答案： 例1:【解析】
(1) $ y' = (x^5)' - (x^3)' + (\cos x)' = 5x^4 - 3x^2 - \sin x $
(2)方法一: $ y' = [(2x^2 - 1)(3x + 1)]' = (2x^2 - 1)'(3x + 1) + (2x^2 - 1)(3x + 1)' $
$ = 4x(3x + 1) + (2x^2 - 1) × 3 = 12x^2 + 4x + 6x^2 - 3 $
$ = 18x^2 + 4x - 3 $
方法二:因为 $ y = (2x^2 - 1)(3x + 1) = 6x^3 + 2x^2 - 3x - 1 $
所以 $ y' = (6x^3 + 2x^2 - 3x - 1)' $
$ = (6x^3)' + (2x^2)' - (3x)' - (1)' $
$ = 18x^2 + 4x - 3 $
(3) $ y' = \left( \frac{e^x}{x} \right)' = \frac{(e^x)'x - e^x(x)'}{x^2} = \frac{e^x · x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2} $
(4) $ y' = (x^2 + x\ln x)' = (x^2)' + (x\ln x)' $
$ = 2x + (x)'\ln x + x(\ln x)' $
$ = 2x + \ln x + x · \frac{1}{x} $
$ = 2x + \ln x + 1 $