《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例 3 某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套公寓，共需 1150 万元，购买当天先付 150 万元，以后每月这一天都交付 50 万元，并加付欠款利息，月利率为 1%. 若交付 150 万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，则全部按期付清后，买这 40 套公寓实际花了多少钱?
[方法总结 3]

答案： 例3：【解析】 由于购房时先付150万元，则欠款1000万元。
依题意分20次付款，则每次付款金额顺次构成数列$\{a_n\}$，
所以$a_n = 50 + [1000 - 50(n - 1)] × 1\%$
$= 60 - \frac{1}{2}(n - 1)(1 \leq n \leq 20, n \in \mathrm{N}^*)$，
所以$\{a_n\}$是以60为首项，$-\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
所以$a_{20} = 60 - 19 × \frac{1}{2} = 50.5$，
所以$S_{20} = \frac{1}{2}(a_1 + a_{20}) × 20 = 10 × (60 + 50.5) = 1105$。
所以实际共付$1105 + 150 = 1255$（万元）。
故全部按期付清后，买这40套公寓实际花了1255万元。

跟踪训练 3
某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线. 经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时. 从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线?

答案： 跟踪训练3：【解析】 从第一辆车投入工作算起各车工作时间（单位：小时）依次设为$a_1$，$a_2$，$·s$，$a_{25}$。
由题意可知，此数列为等差数列，且$a_1 = 24$，公差$d = -\frac{1}{3}$。
25辆翻斗车完成的工作量为$a_1 + a_2 + ·s + a_{25} = 25 × 24 + 25 × 12 × \left(-\frac{1}{3}\right) = 500$，
而需要完成的工作量为$24 × 20 = 480$。
$\because 500 ＞ 480$，
$\therefore$在24小时内能构筑成第二道防线。

1. 设等差数列$\{ a_n \}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_4 = 8$，$S_8 = 20$，则$a_{13} + a_{14} + a_{15} + a_{16} =$

A.8
B.12
C.16
D.20

答案： 1. D 因为数列$\{a_n\}$是等差数列，且$S_4 = 8$，$S_8 = 20$，$S_8 - S_4 = 12$，所以数列$S_4$，$S_8 - S_4$，$S_{12} - S_8$，$S_{16} - S_{12}$，$·s$是等差数列，且首项为8，公差为4。所以$a_{13} + a_{14} + a_{15} + a_{16} = S_{16} - S_{12} = 8 + 4 × 3 = 20$。

2. 在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一兄弟分 100 两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第 8 个兄弟分得 6 两的数目为

A.$\frac{82}{5}$两
B.$\frac{84}{5}$两
C.$\frac{86}{5}$两
D.$\frac{88}{5}$两

答案： 2. C 设10个兄弟由大到小依次分得$a_n (n = 1, 2, ·s, 10)$两银子，设数列$\{a_n\}$的公差为$d$，其前$n$项和为$S_n$，则由题意得$\begin{cases} a_8 = 6, \\ S_{10} = 100, \end{cases}$即$\begin{cases} a_1 + 7d = 6, \\ 10a_1 + \frac{10 × 9}{2}d = 100, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a_1 = \frac{86}{5}, \\ d = -\frac{8}{5}. \end{cases}$ 所以长兄分得$\frac{86}{5}$两银子。

3. 已知等差数列$\{ a_n \}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 ＞ 0,S_{26} = 0$，则使$S_n$取得最大值时的$n$为 .

答案： 3. 13 易知数列$\{a_n\}$是单调递减的等差数列，公差$d ＜ 0$，由$S_{26} = \frac{26(a_1 + a_{26})}{2} = 0$，得$a_1 + a_{26} = 0$，所以$a_{13} + a_{14} = a_1 + a_{26} = 0$，所以$a_{13} ＞ 0$，$a_{14} ＜ 0$，所以该数列前13项的和最大。

4. 已知等差数列$\{ a_n \}$的前$n$项和为$S_n$，若$\frac{S_3}{S_6} = \frac{1}{4}$，则$\frac{S_6}{S_{12}}$等于$\frac{1}{4}$

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{4}{13}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{9}$

答案： 4. $\frac{1}{4}$ 由等差数列的性质知$S_3$，$S_6 - S_3$，$S_9 - S_6$，$S_{12} - S_9$成等差数列，设$S_3 = k$，$S_6 = 4k (k \neq 0)$，则$S_9 = 3S_6 - 3S_3 = 9k$，$S_{12} = 3S_9 - 3S_6 + S_3 = 16k$，所以$\frac{S_6}{S_{12}} = \frac{1}{4}$。

应用等差数列解决实际问题的一般思路

建模
根据题设条件，建立数列模型；①分析实际问题的结构特征；
②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数列模型
解模
利用相关的数列知识加以解决；①分清首项、公差、项数等；
②分清是求$a_n$还是求$S_n$问题；③选用适当的方法求解
还原
把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解

答案：
应用等差数列解决实际问题的一般思路

建模
根据题设条件，建立数列模型；①分析实际问题的结构特征；
②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数列模型
解模
利用相关的数列知识加以解决；①分清首项、公差、项数等；
②分清是求$a_n$还是求$S_n$问题；③选用适当的方法求解
还原
把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解