《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

观察数列$2,2^{2},2^{3},2^{4},·s,2^{n}$. 从第二项起，每一项与它的前一项的差不等于同一个常数，它的前后项之间有什么样的关系呢? 数列$2,2,2,2,2,2,·s$也满足这样的关系吗?
[提示]

答案： 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 数列$2,2,2,2,2,·s$也满足这样的关系.
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知识点一 等比数列的定义
1. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示(显然$q\neq0$).
2. 等比数列定义的符号表示：$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=q(n\in\mathbf{N}^*且n\geqslant2)$或$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q$$(n\in\mathbf{N}^*)$.
[知识点反思1]

答案： 1. 2 比 同一个 公比
2. $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q$
[知识点反思1]
(1) 等比数列的公比$q$可正可负，但不能为$0$；等比数列中任意一项不为$0$；
(2) 常数列(除$0,0,0,·s$外)都是公比为$1$的等比数列.
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知识点二 等比中项
如果在$a$与$b$中间插入一个数$G$，使$a,G,b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项. 此时，$G^{2}=$$ab$.
[知识点反思2]

答案： 等比数列 $ab$
[知识点反思2]
(1) 若$G^{2}=ab$，则$a,G,b$不一定成等比数列，如$G = a = b = 0$；
(2) 只有同号的两个实数才有等比中项；
(3) 若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数，即$G=\pm\sqrt{ab}$.
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知识点三 等比数列的通项公式
设等比数列$\{a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比为$q(q\neq0)$，则通项公式为$a_{n}=$$a_{1}q^{n - 1}$.
[知识点反思3]
[提示]
从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 数列$2,2,2,2,2,·s$也满足这样的关系.
[知识点反思1]
(1) 等比数列的公比$q$可正可负，但不能为$0$；等比数列中任意一项不为$0$；
(2) 常数列(除$0,0,0,·s$外)都是公比为$1$的等比数列.
[知识点反思2]
(1) 若$G^{2}=ab$，则$a,G,b$不一定成等比数列，如$G = a = b = 0$；
(2) 只有同号的两个实数才有等比中项；
(3) 若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数，即$G=\pm\sqrt{ab}$.
[知识点反思3]
(1) 已知首项$a_{1}$和公比$q$的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；
(2) 可以利用通项公式判断数列是否为等比数列；
(3) $a_{n}=a_{1}q^{n - 1}=a_{2}q^{n - 2}=a_{3}q^{n - 3}=·s=a_{m}q^{n - m}$.

答案： $a_{1}q^{n - 1}$
[知识点反思3]
(1) 已知首项$a_{1}$和公比$q$的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；
(2) 可以利用通项公式判断数列是否为等比数列；
(3) $a_{n}=a_{1}q^{n - 1}=a_{2}q^{n - 2}=a_{3}q^{n - 3}=·s=a_{m}q^{n - m}$.
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