《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练1
一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为 (B)

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： 跟踪训练1：B 设等比数列的项数为$ 2n $项，所有奇数项之和为$ S_{奇} $，所有偶数项之和为$ S_{偶} $，则$ q = \frac{S_{偶}}{S_{奇}} = 2 $，又它的首项为$ 1 $，所以通项为$ a_{n} = 2^{n - 1} $，中间两项的和为$ a_{n} + a_{n + 1} = 2^{n - 1} + 2^{n} = 24 $，解得$ n = 4 $，所以项数为$ 8 $。

例2. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{3} = 7,a_{2} + a_{6} = 20$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)若等比数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$b_{1} = a_{1},b_{3}^{2} = a_{6},b_{n + 1} ＞ b_{n}$，求满足$S_{n} \leq 2025$的正整数$n$的最大值.
[方法总结2]
解决等比数列前$n$项和公式有关问题时应注意
(1)首先将题目问题转化为等比数列问题；
(2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系.

答案： 例2：【解析】
(1)设等差数列$ \{a_{n}\} $的公差为$ d $，
则$ a_{3} = a_{1} + 2d = 7,a_{2} + a_{6} = 2a_{1} + 6d = 20 $，
解得$ a_{1} = 1,d = 3 $，
所以$ a_{n} = 1 + 3(n - 1) = 3n - 2 $。
(2)设等比数列$ \{b_{n}\} $的公比为$ q $。
由
(1)知$ b_{1} = a_{1} = 1,b_{3}^{2} = a_{6} = 3 × 6 - 2 = 16 $。
因为$ b_{3}^{2} = (b_{1}q^{2})^{2} $，所以$ q = 2 $或$ q = -2 $，
又$ b_{n + 1} ＞ b_{n} $，所以$ q = 2 $，所以$ S_{n} = \frac{1 × (1 - 2^{n})}{1 - 2} = 2^{n} - 1 $。
令$ 2^{n} - 1 \leq 2025 $，得$ 2^{n} \leq 2026 $，又$ 2^{10} ＜ 2026 ＜ 2^{11} $，
所以满足题意的正整数$ n $的最大值为$ 10 $。

跟踪训练2
已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且满足$S_{3} = 7,S_{6} = 63$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)若$b_{n} = a_{n} + \log_{2}a_{n}$，求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 跟踪训练2：【解析】
(1)由题意知$ S_{6} \neq 2S_{3},q \neq 1 $，
由等比数列的前$ n $项和等距分段的性质知，
$ q^{3} = \frac{S_{6} - S_{3}}{S_{3}} = \frac{63 - 7}{7} = 8 $，故$ q = 2 $，
$\therefore S_{3} = \frac{a_{1}(1 - q^{3})}{1 - q} = 7 $，
代入$ q $可得$ a_{1} = 1,\therefore a_{n} = 2^{n - 1} $。
(2)由
(1)知$ b_{n} = 2^{n - 1} + n - 1 $，
$\therefore T_{n} = (1 + 2 + ·s + 2^{n - 1}) + [0 + 1 + 2 + ·s + (n - 1)] = 2^{n} + \frac{n^{2} - n}{2} - 1 $。