《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例2.在等比数列$\{ a_{n}\}$中，
(1)若$a_{1}+a_{3}=10,a_{4}+a_{6}=\frac{5}{4}$，求$S_{5}$；
(2)若$a_{1}=\sqrt{2},a_{n}=16\sqrt{2},S_{n}=11\sqrt{2}$，求$n$和$q$；
(3)若$a_{2}=1,a_{4}=\frac{1}{4}$，且$a_{n}＞0$，求$S_{10}-S_{5}$.
[方法总结2]
与等比数列前$n$项和公式有关的基本量的求解
在等比数列前$n$项和公式中，共可涉及五个量：$a_{1},a_{n},n,q,S_{n}$，其中首项$a_{1}$和公比$q$为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.

答案： 例2：【解析】
(1)由题意知$ \begin{cases} a_1 + a_1q^2 = 10, \\ a_1q^3 + a_1q^5 = \frac{5}{4}, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a_1 = 8, \\ q = \frac{1}{2}, \end{cases} $
从而$ S_5 = \frac{a_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{31}{2} $.
(2)由$ S_n = \frac{a_1 - a_nq}{1 - q} $得$ 11\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2} - 16\sqrt{2}q}{1 - q} $，
解得$ q = -2 $，又由$ a_n = a_1q^{n - 1} $得，$ 16\sqrt{2} = \sqrt{2}(-2)^{n - 1} $，
解得$ n = 5 $.
(3)设等比数列$ \{a_n\} $的公比为$ q(q ＞ 0) $，
由$ a_4 = a_2q^2 $，得$ q^2 = \frac{1}{4} $，
解得$ q = \frac{1}{2} $或$ q = -\frac{1}{2} $（舍去），则$ a_1 = \frac{a_2}{q} = 2 $，
所以$ S_{10} - S_5 = \frac{2 × \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right]}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{2 × \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5\right]}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{31}{256} $

▶跟踪训练2
在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{3}=\frac{7}{2},S_{6}=\frac{63}{2}$，求$a_{n}$.

答案： 跟踪训练2：【解析】 设等比数列$ \{a_n\} $的公比为$ q $.
由已知条件知$ S_6 \neq 2S_3 $，则$ q \neq 1 $.
由$ S_3 = \frac{7}{2} $，$ S_6 = \frac{63}{2} $，
得$ \begin{cases} \frac{a_1(1 - q^3)}{1 - q} = \frac{7}{2}, & ① \\ \frac{a_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{63}{2}. & ② \end{cases} $
$ ② ÷ ① $，得$ 1 + q^3 = 9 $，$ \therefore q = 2 $.
将$ q = 2 $代入$ ① $，解得$ a_1 = \frac{1}{2} $.
因此$ a_n = a_1q^{n - 1} = 2^{n - 2} $.