《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例$3$.在数列$\{ b_{n}\}$中，若$b_{1} = - 1,b_{n + 1} = \frac{b_{n}}{3b_{n} + 2},n \in \mathbf{N}^{*}$,试求$\{ b_{n}\}$的通项
公式. ▶$[$方法总结$3]$

答案： 已知数列$\{ b_{n}\}$中，$b_{1}=-1$，$b_{n+1}=\frac{b_{n}}{3b_{n}+2}$，$n\in\mathbf{N}^{*}$。
1. 取倒数转化递推式：
对$b_{n+1}=\frac{b_{n}}{3b_{n}+2}$两边取倒数，得$\frac{1}{b_{n+1}}=\frac{3b_{n}+2}{b_{n}}=3+\frac{2}{b_{n}}$。
设$c_{n}=\frac{1}{b_{n}}$，则$c_{n+1}=2c_{n}+3$，且$c_{1}=\frac{1}{b_{1}}=-1$。
2. 构造等比数列求$\{ c_{n}\}$通项：
对$c_{n+1}=2c_{n}+3$，设$c_{n+1}+k=2(c_{n}+k)$，展开得$c_{n+1}=2c_{n}+k$，对比得$k=3$。
故$c_{n+1}+3=2(c_{n}+3)$，即$\{ c_{n}+3\}$是首项为$c_{1}+3=2$，公比为$2$的等比数列。
因此$c_{n}+3=2·2^{n-1}=2^{n}$，即$c_{n}=2^{n}-3$。
3. 求$\{ b_{n}\}$通项：
由$c_{n}=\frac{1}{b_{n}}$，得$b_{n}=\frac{1}{c_{n}}=\frac{1}{2^{n}-3}$。
综上，$\{ b_{n}\}$的通项公式为$\boxed{b_{n}=\dfrac{1}{2^{n}-3}}$。

▶$[$跟踪训练$3]$
若$a_{1} = 1,a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 3a_{n}}$,求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 答题卡填写作答如下：
由$a_{1} = 1,a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 3a_{n}}$，
取倒数得$\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{1 + 3a_{n}}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n}} + 3$，
即$\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = 3$。
又$a_1 = 1$，所以$\frac{1}{a_1} = 1$。
所以数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是以$1$为首项，$3$为公差的等差数列。
根据等差数列通项公式$\frac{1}{a_n} = 1 + (n - 1) × 3 = 3n - 2$。
所以$a_n = \frac{1}{3n - 2}$。

1.已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 2,a_{n + 1} = a_{n} - 2$,则$a_{10} =$ ()

A.$- 12$
B.$12$
C.$- 16$
D.$16$

答案： C

2.已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1} = 2a_{n} + 1,a_{1} = 1$,则$a_{n} =$ ()

A.$2^{n - 1}$
B.$2^{n - 1} - 1$
C.$2^{n}$
D.$2^{n} - 1$

答案： D

3.已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 1,a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2a_{n}}$,则$a_{n} =$ ()

A.$2n - 1$
B.$2n + 1$
C.$\frac{1}{2n - 1}$
D.$\frac{1}{2n + 1}$

答案： C

4.若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1} = 1$，且$a_{n + 1} = 4a_{n} + 2^{n}$，则$a_{5} =$.

答案： 496