《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{n},S_{2n} - S_{n},S_{3n} - S_{2n}$，$· · ·$构成等差数列，那么在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{n},S_{2n} - S_{n},S_{3n} - S_{2n}$，$· · ·$是否构成等比数列呢?
[提示]

答案： 不一定构成等比数列

知识点 等比数列前$n$项和的性质
设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，公比为$q$，则：
1. 当$S_{m} \neq 0$时，$S_{m},S_{2m} - S_{m},S_{3m} - S_{2m}$，$· · ·$仍组成等比数列（公比为$q^{m}$,$m \geq 2$）；
2. $S_{偶},S_{奇}$分别表示等比数列$\{ a_{n}\}$的奇数项与偶数项和，当$n$是偶数时，$\frac{S_{偶}}{S_{奇}} = q$；当$n$是奇数时，$S_{奇} = a_{1} + qS_{偶}$；
3. $S_{n + m} = S_{m} + q^{m}S_{n} = S_{n} + q^{n}S_{m}$；
4. 若一个非常数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n} = Aq^{n} - A(A \neq 0,q \neq 0)$，则$\{ a_{n}\}$为等比数列.
[知识点反思]

答案： 由于题目内容缺失，无法进行具体解答。请补充完整题目信息以便提供解析和答案。

1. 等比数列$\{ a_{n}\}$的前$m$项和为4，前$2m$项和为12，则它的前$3m$项和是28

答案： 1. 28 易知$ S_{m}=4,S_{2m}-S_{m}=8,\therefore S_{3m}-S_{2m}=16,\therefore S_{3m}=12 + 16 = 28 $。

2. 等比数列$\{ a_{n}\}$共有$2n$项，其和为$- 240$，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比$a =$2
[提示]
在特定条件下构成等比数列.
[知识点反思]
当$q = - 1$且$n$为偶数时，$S_{n},S_{2n} - S_{n},S_{3n} - S_{2n}$，$· · ·$不是等比数列，因为此时$S_{n} = 0$；当$q = - 1$且$n$为奇数时，$S_{n},S_{2n} - S_{n},S_{3n} - S_{2n}$，$· · ·$是等比数列.
简单地说就是：在$S_{n} \neq 0$时，$S_{n},S_{2n} - S_{n},S_{3n} - S_{2n}$，$· · ·$是等比数列.

答案： 2. 2 由题意，得$\begin{cases}S_{奇} + S_{偶} = -240, \\ S_{奇} - S_{偶} = 80, \end{cases}$解得$\begin{cases}S_{奇} = -80, \\ S_{偶} = -160. \end{cases}$ $\therefore$ 公比$ q = \frac{S_{偶}}{S_{奇}} = \frac{-160}{-80} = 2 $。

例1. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$.
(1)若$a_{n + 1} = 2a_{n}$，求$\frac{S_{5}}{S_{3}}$的值；
(2)若$S_{n} = 48,S_{2n} = 60$,求$S_{3n}$的值；
(3)若$a_{1} = 1$,项数为偶数，且$S_{奇} = 85,S_{偶} = 170$,求公比与项数.
[方法总结1]
观察题设条件，利用等比数列前$n$项和的性质解题，可以简化计算，达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.

答案： 例1：【解析】
(1)由$ a_{n + 1} = 2a_{n} $得$ q = 2 $，$ \frac{S_{5}}{S_{3}} = \frac{1 - q^{5}}{1 - q^{3}} = \frac{1 - 2^{5}}{1 - 2^{3}} = \frac{31}{7} $。
(2)方法一：$\because S_{2n} \neq 2S_{n},\therefore q \neq 1$，
由已知得$\begin{cases}\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q} = 48, & ① \\ \frac{a_{1}(1 - q^{2n})}{1 - q} = 60, & ② \end{cases}$
②$ ÷ $①得$ 1 + q^{n} = \frac{5}{4} $，
即$ q^{n} = \frac{1}{4} $， ③
③代入①得$ \frac{a_{1}}{1 - q} = 64 $，
$\therefore S_{3n} = \frac{a_{1}(1 - q^{3n})}{1 - q} = 64\left(1 - \frac{1}{4^{3}}\right) = 63 $。
方法二：$\because \{a_{n}\}$为等比数列，显然公比$ q \neq -1 $，
$\therefore S_{n},S_{2n} - S_{n},S_{3n} - S_{2n}$也成等比数列，
$\therefore (S_{2n} - S_{n})^{2} = S_{n}(S_{3n} - S_{2n}) $，
即$ (60 - 48)^{2} = 48(S_{3n} - 60) $，
$\therefore S_{3n} = 63 $。
方法三：由性质$ S_{m + n} = S_{m} + q^{m}S_{n} $可知$ S_{2n} = S_{n} + q^{n}S_{n} $，
即$ 60 = 48 + 48q^{n} $，得$ q^{n} = \frac{1}{4} $，
$\therefore S_{3n} = S_{2n} + q^{2n}S_{n} = 60 + 48 × \left(\frac{1}{4}\right)^{2} = 63 $。
(3)方法一：设原等比数列的公比为$ q $，项数为$ 2n(n \in \mathbf{N}^{*}) $。
由已知$ a_{1} = 1,q \neq 1 $，有$\begin{cases}\frac{1 - q^{2n}}{1 - q} = 85, & ① \\ \frac{q(1 - q^{2n})}{1 - q} = 170. & ② \end{cases}$
由②$ ÷ $①，得$ q = 2 $，$\therefore \frac{1 - 4^{n}}{1 - 4} = 85,4^{n} = 256,\therefore n = 4 $。
故公比为$ 2 $，项数为$ 8 $。
方法二：$\because S_{偶} = a_{2} + a_{4} + ·s + a_{n} = a_{1}q + a_{3}q + ·s + a_{n - 1}q = (a_{1} + a_{3} + ·s + a_{n - 1})q = S_{奇} · q $，
$\therefore q = \frac{S_{偶}}{S_{奇}} = \frac{170}{85} = 2 $。
又$ S_{n} = 85 + 170 = 255 $，由$ S_{n} = \frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q} $，得$ \frac{1 - 2^{n}}{1 - 2} = 255 $，
$\therefore 2^{n} = 256,\therefore n = 8 $。$\therefore$ 公比$ q = 2 $，项数$ n = 8 $。