《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例 1. (多选)下列说法中错误的有 (BCD)

A.数列$23,24,25,26$与$26,25,24,23$是不同的数列
B.数列$1,3,5,7$可表示为$\{1,3,5,7\}$
C.数列$0,1,0,1,·s$是常数列
D.数列$0,1,1,2,3,5,8,13,21,·s$是递增数列
[方法总结 1]

答案： 例1:BCD A说法正确,相同数字的排列次序不同,是不同的数列;B说法错误,构成数列的数是有顺序的,而集合中的元素是无序的;C说法错误,0与1不相等,不是常数列,是摆动数列;D说法错误,第二项与第三项相等,不是递增数列.

跟踪训练 1
(多选)下列说法错误的是 (BCD)

A.数列$0,0,0,0,·s$是首项为 0 的常数列数列
B.$-2,9,1,5,0,·s$不是数列
C.数列$1,2,2^2,2^3,2^4,·s,2^{63}$是无穷数列
D.数列$1,3,5,7$与数列$1,3,5,7,·s$是同一数列

答案： 跟踪训练1:BCD A说法正确,数列每一项都是0,是常数列;B说法错误,只要把数字排列好就是确定了次序,它就是数列;C说法错误,虽然数字中间有省略号,结合前后项的指数规律可以判断该数列共有64项;D说法错误,前面一个是有穷数列,后一个是无穷数列.

例 2. 写出下列数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：
(1)$\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},8$；
(2)$-\frac{1}{2},\frac{3}{4},-\frac{7}{8},\frac{15}{16}$；
(3)$2,1,2,1$；
(4)$9,99,999,9999$.

答案： 例2:【解析】
(1)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:$\frac{1}{2},\frac{4}{2},\frac{9}{2},\frac{16}{2},·s,$
所以它的一个通项公式为$a_{n}=\frac{n^{2}}{2},n\in \mathrm{N}^{*}$.
(2)这个数列的前4项的绝对值都是每一项的分子比分母小1,而分母组成的数列为$2^{1},2^{2},2^{3},2^{4},2^{5},·s,$并且奇数项为负,
偶数项为正,所以原数列的一个通项公式为$a_{n}=(-1)^{n}\frac{2^{n}-1}{2^{n}}$.
(3)这个数列中的项是2与1交替出现,奇数项都是2,偶数项都是1,所以通项公式可以写成$a_{n}=\begin{cases} 2,n为奇数,\\ 1,n为偶数 \end{cases}$也可以写成$a_{n}=\frac{3-(-1)^{n}}{2}(n\in \mathrm{N}^{*})$或$a_{n}=\frac{3-\cos n\pi}{2}(n\in \mathrm{N}^{*})$.
(4)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,$·s,$此数列的通项公式为$10^{n}$,可得原数列的一个通项公式为$a_{n}=10^{n}-1,n\in \mathrm{N}^{*}$.