《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练1
求下列函数的导数：
(1)$y = x^3e^x$；
(2)$y = x^2 + \tan x$；
(3)$y = \frac{e^x}{x + 1}$.

答案： 跟踪训练1:
【解析】
(1) $ y' = (x^3)'e^x + x^3(e^x)' = (3x^2 + x^3)e^x $
(2)因为 $ y = x^2 + \frac{\sin x}{\cos x} $
所以 $ y' = (x^2)' + \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' $
$ = 2x + \frac{\cos^2 x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = 2x + \frac{1}{\cos^2 x} $
(3) $ y' = \frac{(e^x)'(x + 1) - (x + 1)'e^x}{(x + 1)^2} $
$ = \frac{e^x(x + 1) - e^x}{(x + 1)^2} $
$ = \frac{xe^x}{(x + 1)^2} $

例2.(1)设函数$f(x)$的导数为$f'(x)$，且$f(x) = x^3 + f'\left( \frac{2}{3} \right)x^2 - x$，则$f'(1) =$0.
(2)若曲线$f(x) = x\sin x$在$x = \frac{\pi}{2}$处的切线与直线$ax + 2y + 1 = 0$互相垂直，则实数$a =$2.
[方法总结2]
含$f'(c)$函数的求导问题的解决策略
含$f'(c)$函数在求导时一定要抓住$f'(c)$为常数这一特点，也就是说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把$f'(c)$一律充当系数处理.

答案： 例2:
(1) 0
(2) 2
【解析】
(1)因为 $ f(x) = x^3 + f'\left( \frac{2}{3} \right)x^2 - x $,所以 $ f'(x) = 3x^2 + 2f'\left( \frac{2}{3} \right)x - 1 $,所以 $ f'\left( \frac{2}{3} \right) = 3 × \left( \frac{2}{3} \right)^2 + 2f'\left( \frac{2}{3} \right) × \frac{2}{3} - 1 $,则 $ f'\left( \frac{2}{3} \right) = -1 $ 所以 $ f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 $,故 $ f'(1) = 0 $
(2)由题可得 $ f'(x) = \sin x + x\cos x $ $ f'\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 $ $ \therefore $ 曲线 $ f(x) = x\sin x $ 在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处的切线的斜率为1. $ \because $ 曲线 $ f(x) = x\sin x $ 在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处的切线与直线 $ ax + 2y + 1 = 0 $ 互相垂直,且直线 $ ax + 2y + 1 = 0 $ 的斜率为 $ -\frac{a}{2} $, $ \therefore \left( -\frac{a}{2} \right) × 1 = -1 $,解得 $ a = 2 $

跟踪训练2
(1)记函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，且$f(x) = 3xf'(2) - 2\ln x$，则$f(1)$等于(D)
A.1
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 跟踪训练2:
(1) D

(2)函数$f(x) = e^x\cos x$的图象在点$(0,f(0))$处的切线的倾斜角为(B)

A.0
B.$\frac{\pi}{4}$
C.1
D.$\frac{\pi}{2}$

答案：
(2) B
【解析】
(2)对函数求导得 $ f'(x) = e^x(\cos x - \sin x) $, $ \therefore f'(0) = 1 $, $ \therefore $ 函数 $ f(x) = e^x\cos x $ 的图象在点 $ (0, f(0)) $ 处的切线的倾斜角为 $ \frac{\pi}{4} $