《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例2.用数学归纳法证明:$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ·s + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ·s + \frac{1}{2n}(n \in \mathbf{N}^*)$.[方法总结2]

答案： 证明
(1) 当$n = 1$时，左边$= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，右边$= \frac{1}{2}$，命题成立。
(2) 假设当$n = k (k \in \mathbf{N}^*)$时，命题成立，即
$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ·s + \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k} = \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ·s + \frac{1}{2k}.$
那么当$n = k + 1$时，
$\begin{aligned}&1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ·s + \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k + 1} - \frac{1}{2k + 2} \\=& \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ·s + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k + 1} - \frac{1}{2(k + 1)} \\=& \frac{1}{(k + 1) + 1} + \frac{1}{(k + 1) + 2} + ·s + \frac{1}{(k + 1) + k} + \frac{1}{2(k + 1)}.\end{aligned}$
上式表明当$n = k + 1$时，命题也成立。
由
(1)
(2)知，命题对任何$n \in \mathbf{N}^*$均成立。

►跟踪训练2
用数学归纳法证明:$(1^2 + 1) + (2^2 + 2) + ·s + (n^2 + n) = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)(n \in \mathbf{N}^*)$.
[方法总结2]
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
(1)$n = n_0$时，等式的结构；
(2)$n = k$到$n = k + 1$时，两个式子的结构：$n = k + 1$时的代数式比$n = k$时的代数式增加（或减少）的项.
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项；
②代数式相邻两项之间的变化规律；
③代数式中最后一项（最后一个数）与$n$的关系.

答案： 证明
(1) 当$n = 1$时，左边$= 2$，右边$= \frac{1}{3} × 1 × 2 × 3 = 2$，等式成立。
(2) 假设当$n = k (k \in \mathbf{N}^*)$时，等式成立，即$(1^2 + 1) + (2^2 + 2) + ·s + (k^2 + k) = \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2)$，那么当$n = k + 1$时，
$\begin{aligned}&(1^2 + 1) + (2^2 + 2) + ·s + (k^2 + k) + [(k + 1)^2 + (k + 1)] \\=& \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)^2 + (k + 1) \\=& \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(1 + k + 1) \\=& \frac{1}{3}(k + 1)(k + 2)(k + 3) \\=& \frac{1}{3}(k + 1)[(k + 1) + 1][(k + 1) + 2],\end{aligned}$
即当$n = k + 1$时，等式也成立。
根据
(1)和
(2)可知，等式对任意正整数$n$都成立。