《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例$2$. (1)已知$f(x)$的导函数$f^{\prime}(x)$的图象如图所示,那么$f(x)$的图象最有可能是图中的 (D)


A.
B.
C.
D.

答案： 例2:
(1) D
【解析】
(1)由题意可知,当$ x\lt0 $和$ x\gt2 $时,导函数$ f'(x)\lt0 $,函数$ f(x) $是减函数；当$ x\in(0,2) $时,导函数$ f'(x)\gt0 $,函数$ f(x) $是增函数,D符合.

(2)函数$f(x)$的图象如图所示,设$f(x)$的导函数为$f^{\prime}(x)$,则$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}＞0$的解集为 (D)


A.$(1,6)$
B.$(1,4)$
C.$(-\infty,1)\cup(6,+\infty)$
D.$(1,4)\cup(6,+\infty)$ [方法总结$2$]

答案： 例2:
(2) D
【解析】
(2)由题意,$ \frac{f'(x)}{f(x)}\gt0\Rightarrow f'(x)· f(x)\gt0 $,又因为,由图可知,当$ x\in(-\infty,4) $时$ f'(x)\gt0,f(x) $单调递增；当$ x\in(4,+\infty) $时$ f'(x)\lt0,f(x) $单调递减；所以①当$ x\in(1,4) $时$ f'(x)\gt0 $且$ f(x)\gt0 $,②当$ x\in(6,+\infty) $时$ f'(x)\lt0 $且$ f(x)\lt0 $；综上,$ x\in(1,4)\cup(6,+\infty) $.故选 D.

跟踪训练$2$
已知函数$y = f(x)$的导函数$y = f^{\prime}(x)$的图象如图所示,则该函数的图象可能是 (B)


A.
B.
C.
D.

答案： 跟踪训练2:B 由$ y = f'(x) $的图象知,$ y = f(x) $为增函数,且在区间$ (-1,0) $上增长速度越来越快,而在区间$ (0,1) $上增长速度越来越慢,故选 B.

例$3$. 求下列函数的单调区间：
(1)$f(x)=x^{3}-4x^{2}+4x - 1$；
(2)$f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x - 2}$ [方法总结$3$]

答案： 例3:【解析】
(1)函数$ f(x) $的定义域为$ \mathbf{R} $,
$ f'(x)=3x^{2}-8x + 4 $.
令$ 3x^{2}-8x + 4 = 0 $,
解得$ x=\frac{2}{3} $或$ x = 2 $.
当$ x $变化时,$ f'(x) $与$ f(x) $的变化情况如下表:
| $ x $ | $ \left(-\infty,\frac{2}{3}\right) $ | $ \frac{2}{3} $ | $ \left(\frac{2}{3},2\right) $ | $ 2 $ | $ (2,+\infty) $ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ f'(x) $ | $ + $ | $ 0 $ | $ - $ | $ 0 $ | $ + $ |
| $ f(x) $ | 单调递增 | $ f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{27} $ | 单调递减 | $ f(2)=-1 $ | 单调递增 |
所以函数$ f(x) $的单调递增区间为$ \left(-\infty,\frac{2}{3}\right) $和$ (2,+\infty) $,
单调递减区间为$ \left(\frac{2}{3},2\right) $.
(2)函数$ f(x) $的定义域为$ (-\infty,2)\cup(2,+\infty) $.
$ f'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}(x - 2)-\mathrm{e}^{x}}{(x - 2)^{2}}=\frac{\mathrm{e}^{x}(x - 3)}{(x - 2)^{2}} $.
令$ f'(x)=0 $可得$ x = 3 $,当$ x $变化时,$ f'(x) $与$ f(x) $的变化情况如下表所示:
| $ x $ | $ (-\infty,2) $ | $ (2,3) $ | $ 3 $ | $ (3,+\infty) $ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $ f'(x) $ | $ - $ | $ - $ | $ 0 $ | $ + $ |
| $ f(x) $ | 单调递减 | 单调递减 | $ f(3)=\mathrm{e}^{3} $ | 单调递增 |
所以函数$ f(x) $的单调递增区间为$ (3,+\infty) $,单调递减区间为$ (-\infty,2) $和$ (2,3) $.