《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例3. 在等比数列$\{a_{n}\}$中，
(1)$a_{5}=8,a_{7}=2,a_{n}＞0$,求$a_{n}$；
(2)$a_{n}=625,n = 4,q = 5$,求$a_{1}$；
(3)$a_{2}+a_{5}=18,a_{3}+a_{6}=9,a_{n}=1$,求$n$.

答案： 【解析】 设数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$.
(1) 因为$\begin{cases} a_{5} = a_{1}q^{4}, \\ a_{7} = a_{1}q^{6}, \end{cases}$ 所以$\begin{cases} a_{1}q^{4} = 8, \\ a_{1}q^{6} = 2. \end{cases}$ ①②
由$\frac{②}{①}$得$q^{2} = \frac{1}{4}$，因为$a_{n} ＞ 0$，所以$q = \frac{1}{2}, a_{1} = 128$，
所以$a_{n} = a_{1} · q^{n - 1} = 128 × \left( \frac{1}{2} \right)^{n - 1} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n - 8}$.
(2) $a_{1} = \frac{a_{n}}{q^{n - 1}} = \frac{625}{5^{4 - 1}} = 5$，解得$a_{1} = 5$.
(3) 因为$\begin{cases} a_{2} + a_{5} = a_{1}q + a_{1}q^{4} = 18, \\ a_{3} + a_{6} = a_{1}q^{2} + a_{1}q^{5} = 9, \end{cases}$ ①②
由$\frac{②}{①}$得$q = \frac{1}{2}$，所以$a_{1} = 32$.
又$a_{n} = 1$，所以$32 × \left( \frac{1}{2} \right)^{n - 1}$
$= 1$，
即$2^{6 - n} = 2^{0}$，解得$n = 6$.
---

[方法总结3]
跟踪训练3
在等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{2}+a_{4}=1,a_{6}+a_{8}=9$,则$a_{2}=$ (A)
[方法总结3]
关于等比数列基本量的运算
(1)$a_{1}$和$q$是等比数列的两个基本量，解决相应问题时，只要要求出这两个基本量，其余的量便可以得出；
(2) 等比数列的通项公式涉及$4$个量$a_{1},a_{n},n,q$，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解决.
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 4

答案： A 由题得$\begin{cases} a_{1}q + a_{1}q^{3} = 1, \\ a_{1}q^{5} + a_{1}q^{7} = 9, \end{cases}$ 解得$q^{2} = 3, \therefore q = \sqrt{3}$或
$q = -\sqrt{3}$. 当$q = \sqrt{3}$时，$a_{1} = \frac{\sqrt{3}}{12}$；当$q = -\sqrt{3}$时，$a_{1} = -\frac{\sqrt{3}}{12}$.
$\therefore a_{2} = a_{1}q = \frac{1}{4}$.
---

1. 下列数列为等比数列的是 (B)

A.$2,2^{2},3×2^{2},·s$
B.$\frac{1}{2},\frac{1}{2^{2}},\frac{1}{2^{3}},·s$
C.$s - 1,(s - 1)^{2},(s - 1)^{3},·s$
D.$0,0,0,·s$

答案： B A项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义. 故选B.
---

2. 等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{4}=1,a_{8}=16$，则$a_{6}=$4

答案： 4 方法一: $\because a_{8} = a_{4}q^{4}, \therefore q^{4} = \frac{a_{8}}{a_{4}} = 16, \therefore q^{2} = 4, \therefore a_{6} = a_{4}q^{2}$
$= 4$.
方法二: $\because a_{6}$是$a_{4}$与$a_{8}$的等比中项，$\therefore a_{6}^{2} = a_{4} · a_{8} = 16$，又$\because$
$a_{6}$与$a_{4}, a_{8}$同号，$\therefore a_{6} = 4$.
---

3. 数列$-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16},·s$的通项公式为$a_{n}=$$\left( -\frac{1}{2} \right)^{n}$

答案： $\left( -\frac{1}{2} \right)^{n}$ 该数列是以$-\frac{1}{2}$为公比，$-\frac{1}{2}$为首项的等比数
列，则$a_{n} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{n}$.
---