《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练1
已知等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = \frac{3}{2}$，$d = - \frac{1}{2}$，$S_{n} = - 15$，则$n =$12.

答案： 跟踪训练1：12 $S_{n}=n·\frac{3}{2}+\frac{n(n - 1)}{2}×(-\frac{1}{2})=-15$，整理得$n^{2}-7n - 60 = 0$，解得$n = 12$或$n = - 5$（舍去），即$n = 12$。

例2. 若数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n} = 2n^{2} - 3n - 1$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式，并判断数列$\{ a_{n}\}$是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.[方法总结2]
[方法总结2]
若$S_{n}$是关于$n$的二次多项式，且无常数项（即常数项为0），即满足$S_{n} = An^{2} + Bn$的数列是等差数列.在求解选择题、填空题时也可以对比$S_{n} = \frac{d}{2}n^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2})n$运用$A + B = a_{1}$，$d = 2A$来快速求解.

答案： 例2：【解析】 $\because S_{n}=2n^{2}-3n - 1$， ①
当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=2 - 3 - 1 = - 2$，
当$n\geq2$时，$S_{n - 1}=2(n - 1)^{2}-3(n - 1)-1$， ②
① - ②得$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=2n^{2}-3n - 1 - [2(n - 1)^{2}-3(n - 1)-1]=4n - 5$，
经检验当$n = 1$时，$a_{n}=4n - 5$不成立，
故$a_{n}=\begin{cases}-2, & n = 1, \\ 4n - 5, & n\geq2. \end{cases}$
故数列$\{a_{n}\}$不是等差数列，数列$\{a_{n}\}$是从第二项起以4为公差的等差数列。

跟踪训练2
(1) 数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n} = - n^{2} + n$，则$\{ a_{n}\}$的公差$d =$- 2.
(2) 数列$\{ a_{n}\}$为等差数列，它的前$n$项和为$S_{n}$，若$S_{n} = (n + 1)^{2} + \lambda$，则$\lambda$的值是- 1.

答案： 跟踪训练2：
(1) - 2
(2) - 1
【解析】
(1)方法一：当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=-1 + 1 = 0$；
当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=(-n^{2}+n)-[-(n - 1)^{2}+(n - 1)]=-2n + 2$，
经检验，$n = 1$时，$a_{1}=0$也适合上式。
故$a_{n}=-2n + 2(n\in\mathbf{N}^{*})$，
$\therefore d = - 2$。
方法二：由二次项系数为 - 1，则公差为$2×(-1)= - 2$。
(2)$\because S_{n}=n^{2}+2n + 1 + \lambda$，
$\therefore 1 + \lambda = 0$，$\therefore \lambda = - 1$。