《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

兔子繁殖数问题
如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子. 假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12个月以后会有多少对兔子呢？试想一下，第一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有$1 + 1 = 2$对兔子. 第四个月：最初的一对兔子又生一对兔子，共有$2 + 1 = 3$对兔子. 则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$. 这十二个月兔子的对数构成一个数列，它的前后项之间有什么样的关系呢？
[提示]

答案： 从第三项开始，每一项都等于它前两项的和，即$a_n = a_{n-2} + a_{n-1}(n \geq 3)$，其中$a_1 = 1$，$a_2 = 1$

二 新知初探
知识点一 数列的递推公式
如果一个数列的$\underline{相邻}$两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
[知识点反思1]

答案： 相邻（此题为填空题目作答形式，按照要求给出对应内容）

知识点二 数列的前$n$项和
1. 数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和
数列$\{ a_{n}\}$从第1项起到第$n$项止的各项之和，称为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，记作$\underline{S_{n}}$，即$S_{n} = \underline{a_{1} + a_{2} + ·s + a_{n}}$.
2. 数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和公式
如果数列$\{$$a_{n}\}$的前$n$项和$\underline{S_{n}}$与它的$\underline{n}$之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前$n$项和公式.
3. $a_{n}$与$S_{n}$的关系
$a_{n} = \begin{cases}S_{1}, & n = 1, \\ \underline{S_{n} - S_{n - 1}}, & n \geqslant 2.\end{cases}$ ______
[知识点反思2]
[提示]
从数列的第三项起，每一项都是前两项之和. 数列$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ·s$在现代物理、准晶体结构、化学领域、几何领域、生物领域甚至美学领域等都影响甚广，后人为了纪念提出兔子繁殖问题的数学家斐波那契，将这个兔子数列称为斐波那契数列.
[知识点反思1]
有的数列没有递推公式. 当一个数列有递推公式时，已知首项或前几项结合递推公式就可以求出数列的每一项.
[知识点反思2]
在已知数列的前$n$项和公式求通项时，$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$只适用于$n \geqslant 2$的情形，注意验证$n = 1$时的情况.

答案： （1）$S_n$；$a_1 + a_2 + ·s + a_n$ （2）$\{a_n\}$ （3）$S_n - S_{n - 1}$