《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.
(1)$1,\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{9},\frac{1}{12},·s$；
(2)$10,10,10,10,10,·s$；
(3)$\frac{2}{3},(\frac{2}{3})^{2},(\frac{2}{3})^{3},(\frac{2}{3})^{4},·s$；
(4)$1,0,1,0,1,0,·s$；
(5)$1, - 4,16, - 64,256,·s$.

答案： 【解析】
(1) $\frac{\frac{1}{3}}{1} \neq \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}$，不是等比数列.
(2) 是等比数列，公比为1.
(3) 是等比数列，公比为$\frac{2}{3}$.
(4) 有0项，不是等比数列.
(5) 是等比数列，公比为-4.
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2. 等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=3$，公比$q = 2$，则$a_{5}=$

A.32
B.-48
C.48
D.96

答案： C $a_{5} = a_{1}q^{4} = 3 × 2^{4} = 48$.
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3. 等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{2}=3,a_{4}=27$，则公比$q =$± 3.

答案： $\pm 3$ 设等比数列$\{a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，则$\begin{cases}a_{1}q = 3, \\ a_{1}q^{3} = 27. \end{cases}$ 解得$q^{2} = 9$，
所以$q = \pm 3$.
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4. 4与16的等比中项是± 8.

答案： $\pm 8$ 由$G^{2} = 4 × 16 = 64$得$G = \pm 8$.
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例1. (多选)下列数列是等比数列的是 (ACD)

A.$b,b,b,b,·s$( $b$为常数，$b\neq0$)
B.$2^{2},4^{2},6^{2},8^{2},·s$
C.$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},·s$
D.$\frac{1}{a},\frac{1}{a^{2}},\frac{1}{a^{3}},\frac{1}{a^{4}},·s$
[方法总结1]

答案： ACD A选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是
等比数列；B选项中，$\frac{4^{2}}{2^{2}} \neq \frac{6^{2}}{4^{2}}$，所以该数列不是等比数列；C选
项中的数列是首项为1，公比为$-\frac{1}{2}$的等比数列；D选项中的
数列是首项为$\frac{1}{a}$，公比为$\frac{1}{a}$的等比数列. 故选ACD.
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跟踪训练1
判断正误. (正确的画“$√$”，错误的画“$×$”)
(1) 数列$1, - 1,1, - 1,·s$是等比数列. (√)
(2) 若数列$\{a_{n}\}$满足$\frac{a_{2}}{a_{1}}=2,\frac{a_{3}}{a_{2}}=2$，则$\{a_{n}\}$为等比数列. (×)
(3) 任何常数列都是等比数列. (×)
(4) 数列$a,G,b$成等比数列的充要条件是$G^{2}=ab$. (×)

答案：
(1) $\surd$
(2) $×$
(3) $×$
(4) $×$
【解析】
(1) 是等比数列，公比为-1.
(2) 不能确定第三项以
后的情况，不是等比数列.
(3) 所有项都是0的数列，不是等比
数列.
(4) 不是充要条件，是必要不充分条件.
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例2. (多选)如果$-1,a,b,c, - 9$成等比数列，那么 (BC)

A.$b = 3$
B.$b = - 3$
C.$ac = 9$
D.$ac = - 9$

答案： BC $\because b$是-1，-9的等比中项，$\therefore b^{2} = 9, b = \pm 3$. 由等比
数列奇数项符号相同，得$b ＜ 0$，故$b = -3$，而$b$又是$a, c$的等
比中项，故$b^{2} = ac$，即$ac = 9$.
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跟踪训练2
在等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{4},a_{6}$是方程$x^{2}-4x + 1 = 0$的两根，则$a_{5}$等于 (D)

A.2
B.1
C.-1
D.$\pm1$

答案： D 由题意知$a_{4}a_{6} = 1$，所以$a_{5}^{2} = a_{4}a_{6} = 1$，所以$a_{5} =$
$\pm 1$.
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