《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 在应用数学归纳法证明凸$n$边形的对角线为$\frac{1}{2}n(n - 3)$条时，第一步应验证$n =$ (C)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 1. C 边数最少的凸$n$边形是三角形，故选C。

2. 用数学归纳法证明“$1 + a + a^2 + ·s + a^{n + 1} = \frac{1 - a^{n + 2}}{1 - a}(a \neq 1)$”.当验证$n = 1$时，上式左端计算所得为$1 + a + a^2$.

答案： 2. $1 + a + a^2$ 当$n = 1$时，左侧第一个数是$1$，最后一个数是$a^2$，故左边式子应为$1 + a + a^2$。

例1.(1)已知$n$为正偶数，用数学归纳法证明$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ·s + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} = 2(\frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 4} + ·s + \frac{1}{2n})$时，若已假设$n = k(k \geqslant 2,k$为偶数)时命题为真，则还需要再证 (B)
A. $n = k + 1$时等式成立
B. $n = k + 2$时等式成立
C. $n = 2k + 2$时等式成立
D. $n = 2(k + 2)$时等式成立
(2)利用数学归纳法证明“$(n + 1)(n + 2)·s(n + n) = 2^n · 1 · 3 · ·s · (2n - 1)$”时，由$k$到$k + 1$时，左边应添加的因式为($2(2k + 1)$)
(3)用数学归纳法证明$1 + 2 + 2^2 + ·s + 2^{n - 1} = 2^n - 1(n \in \mathbf{N}^*)$的过程如下：
①当$n = 1$时，左边$= 1$，右边$= 2^1 - 1 = 1$，等式成立.
②假设当$n = k(k \in \mathbf{N}^*)$时等式成立，即$1 + 2 + 2^2 + ·s + 2^{k - 1} = 2^k - 1$，则当$n = k + 1$时，$1 + 2 + 2^2 + ·s + 2^{k - 1} + 2^k = \frac{1 - 2^{k + 1}}{1 - 2} = 2^{k + 1} - 1$，所以当$n = k + 1$时等式也成立. 由此可知对于任何$n \in \mathbf{N}^*$，等式都成立. 上述证明，错误是未用归纳假设.[方法总结1]

答案：
(1) B
(2) $2(2k + 1)$
(3) 未用归纳假设
解析：
(1) 由数学归纳法的证明步骤可知，假设$n = k (k \geq 2, k$为偶数$)$时命题为真，还需要再证明下一个偶数，即$n = k + 2$时等式成立。
(2) 当$n = k$时，左边$= (k + 1)(k + 2)·s(k + k)$，当$n = k + 1$时，左边$= (k + 1 + 1)(k + 1 + 2)·s(k + 1 + k)(k + 1 + k + 1) = (k + 2)(k + 3)·s(2k + 1)(2k + 2)$，所以左边应添加的因式为$\frac{(2k + 1)(2k + 2)}{k + 1} = 2(2k + 1)$。
(3) 本题在由$n = k$成立证明$n = k + 1$成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符。

►跟踪训练1
对于不等式$\sqrt{n^2 + n} ＜ n + 1(n \in \mathbf{N}^*)$，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当$n = 1$时，$\sqrt{1^2 + 1} ＜ 1 + 1$，不等式成立.
(2)假设当$n = k(k \geqslant 1$且$k \in \mathbf{N}^*)$时，不等式成立，即$\sqrt{k^2 + k} ＜ k + 1$，则当$n = k + 1$时，
$\sqrt{(k + 1)^2 + (k + 1)} = \sqrt{k^2 + 3k + 2}$
$＜ \sqrt{(k^2 + 3k + 2) + k + 2}$
$= \sqrt{(k + 2)^2} = (k + 1) + 1$，
$\therefore$当$n = k + 1$时，不等式成立，则上述证法(D)
A. 过程全部正确
B. $n = 1$验证不正确
C. 归纳假设不正确
D. 从$n = k$到$n = k + 1$的推理不正确
[方法总结1]
数学归纳法的三个关键点
(1) 验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是$1$；
(2) 递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律；
(3) 利用假设是核心：在第二步证明$n = k + 1$时，一定要利用归纳假设.

答案： D 在$n = k + 1$时，没有应用$n = k$时的归纳假设，不是数学归纳法。