《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例1. 求函数$y = x-\frac{1}{x}$在$x = 1$处的导数.
[方法总结1]
求函数$y = f(x)$在$x = x_{0}$处的导数的步骤
(1) 求函数值的变化量$\Delta y = f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$；
(2) 求平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$；
(3) 取极限，得导数$f'(x_{0})=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$. 为了求出$\Delta x\to0$时，$\frac{\Delta y}{\Delta x}$的极限值，要注意对$\frac{\Delta y}{\Delta x}$进行适当变形.

答案： 例1:【解析】 $\Delta y = (1 + \Delta x) - \frac{1}{1 + \Delta x} - \left(1 - \frac{1}{1}\right) = \Delta x + \frac{\Delta x}{1 + \Delta x}$，故$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 1 + \frac{1}{1 + \Delta x}$。$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left(1 + \frac{1}{1 + \Delta x}\right) = 2$，即$y = x - \frac{1}{x}$在$x = 1$处导数为$2$。

跟踪训练1
设函数$f(x)$在$x = 1$处的导数为$2$，则$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{3\Delta x}=$$\frac{2}{3}$.

答案： 跟踪训练1:$\frac{2}{3}$ 由导数定义，$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{3\Delta x} = \frac{1}{3} \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \frac{1}{3} × 2 = \frac{2}{3}$。

例2. 建造一栋面积为$x$平方米的房屋需要成本$y$万元，$y$是关于$x$的函数，$y = f(x)=\frac{x}{10}+\frac{\sqrt{x}}{10}+0.3$，求$f'(100)$的值，并解释它的实际意义.
[方法总结2]
认识瞬时变化率的关键点
(1) 极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限；
(2) 函数$y = f(x)$在$x = x_{0}$处的导数$f'(x_{0})$反映了函数在$x = x_{0}$处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况.

答案： 例2:【解析】$f'(100) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(100 + \Delta x) - f(100)}{\Delta x}= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{[100 + \Delta x + \sqrt{100 + \Delta x} + 3] - [100 + \sqrt{100} + 3]}{10\Delta x}= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left( \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{100 + \Delta x} - 10}{10\Delta x} \right)= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{1}{10} + \frac{1}{10(\sqrt{100 + \Delta x} + 10)} \right] = \frac{1}{10} + \frac{1}{10 × 20} = 0.105$。$f'(100) = 0.105$表示建筑面积$100$平方米时，成本以$1050$元/平方米的速度增加。