《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 如图，函数$y = f(x)$在$[1,3]$上的平均变化率为(B)

A.1
B.-1
C.2
D.-2

答案： 1. B $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

2. (2025·深圳月考)已知函数$f(x)$可导，且满足$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(3)-f(3+\Delta x)}{\Delta x}=2$，则函数$y = f(x)$在$x = 3$处的导数为(B)

A.-1
B.-2
C.1
D.2

答案： 2. B 由题意$f'(3) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(3 + \Delta x) - f(3)}{\Delta x} = -2$，故选B。

3. 已知函数$y = f(x)$的图象在点$M(1,f(1))$处的切线方程是$y=\frac{1}{2}x + 2$，则$f(1)+f'(1)=$3.

答案： 3. 3 由$M$点切线$y = \frac{1}{2}x + 2$，得$f(1) = \frac{1}{2} × 1 + 2 = \frac{5}{2}$，$f'(1) = \frac{1}{2}$，故$f(1) + f'(1) = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3$。

4. 已知抛物线$y = f(x)=2x^{2}+1$在某点处的切线的倾斜角为$45^{\circ}$，则该切点的坐标为$\left( \frac{1}{4}, \frac{9}{8} \right)$.

答案： 4. $\left( \frac{1}{4}, \frac{9}{8} \right)$ 设切点$(x_0, y_0)$，$\Delta y = [2(x_0 + \Delta x)^2 + 1] - (2x_0^2 + 1) = 4x_0 \Delta x + 2(\Delta x)^2$，故$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 4x_0 + 2\Delta x$，$f'(x_0) = 4x_0$。切线斜率$k = \tan 45° = 1$，故$4x_0 = 1 \implies x_0 = \frac{1}{4}$，$y_0 = 2 × \left( \frac{1}{4} \right)^2 + 1 = \frac{9}{8}$，切点为$\left( \frac{1}{4}, \frac{9}{8} \right)$。

利用导数的定义我们可以求出函数$y=x^{2}$在$x=1,2,3$等任意值时的导数.但对每一个给定的值都重复一遍相似的求解过程，费时费力，不利于我们对新知识的探索，如果先求出$y=x^{2}$的导函数，将其作为公式来利用，可以大大简化求某一特定值的导数的过程，起到事半功倍的作用.本节我们探究几个常用函数的导数公式.

答案： $y' = 2x$