《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练2
一只昆虫爬行的位移$s$(单位：米)是关于时间$t$(单位：分)的函数：$s = \begin{cases} 3t^{2},0\leq t＜3, \\ 15 + 3(t - 1)^{2},t\geq3, \end{cases}$求$s'(1)$与$s'(4)$，并解释它们的实际意义.

答案： 跟踪训练2:【解析】当$0 \leq t ＜ 3$时，$s(t) = 3t^2$，$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(1 + \Delta t) - s(1)}{\Delta t} = \frac{3(1 + \Delta t)^2 - 3}{\Delta t} = 6 + 3\Delta t$，故$s'(1) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} (6 + 3\Delta t) = 6$。当$t \geq 3$时，$s(t) = 15 + 3(t - 1)^2$，$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(4 + \Delta t) - s(4)}{\Delta t} = \frac{15 + 3(4 + \Delta t - 1)^2 - [15 + 3(4 - 1)^2]}{\Delta t} = 18 + 3\Delta t$，故$s'(4) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} (18 + 3\Delta t) = 18$。$s'(1) = 6$表示第$1$分钟爬行速度$6$米/分，$s'(4) = 18$表示第$4$分钟速度$18$米/分。

例3. 已知函数$y = f(x)=x^{3}$.
(1) 求曲线$y = f(x)$在点$(-1,-1)$处的切线方程；
(2) 求曲线$y = f(x)$过点$E(2,0)$的切线方程.
[方法总结3]
求过点$P(x_{0},y_{0})$的曲线$y = f(x)$的切线方程的策略
(1) 当点$P(x_{0},y_{0})$是切点时，切线方程为$y - y_{0}=f'(x_{0})(x - x_{0})$；
(2) 当点$P(x_{0},y_{0})$不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标$P'(x_{1},f(x_{1}))$；
第二步：写出过点$P'(x_{1},f(x_{1}))$的切线方程$y - f(x_{1})=f'(x_{1})(x - x_{1})$；
第三步：将点$P$的坐标$(x_{0},y_{0})$代入切线方程求出$x_{1}$；
第四步：将$x_{1}$的值代入方程$y - f(x_{1})=f'(x_{1})·(x - x_{1})$可得过点$P(x_{0},y_{0})$的切线方程.

答案： 例3:【解析】
(1) $f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x} = 3x^2$。曲线在$(-1, -1)$处切线斜率$k = f'(-1) = 3$，切线方程$y + 1 = 3(x + 1)$，即$3x - y + 2 = 0$。
(2) 设切点$(x_0, x_0^3)$，切线斜率$k = 3x_0^2$，方程为$y - x_0^3 = 3x_0^2(x - x_0)$。代入$E(2, 0)$得$-x_0^3 = 3x_0^2(2 - x_0)$，即$2x_0^3 - 6x_0^2 = 0$，解得$x_0 = 0$或$x_0 = 3$。故切线方程为$y = 0$或$27x - y - 54 = 0$。