《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

在信息狂潮的今天，网络谣言的快速传播已成为社会的一大隐患.如图所示，如果一个人得到某个虚假信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)，$·s·s$，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列：$1,3,9,27,81,·s$·

如果信息按照上述方式共传播了10轮，那么知晓这个信息的有多少人呢?
[提示]

答案： 本题可根据等比数列的前$n$项和公式来计算知晓信息的总人数。
### 步骤一：分析等比数列的首项$a_1$、公比$q$和项数$n$
- 由题意可知，该等比数列的首项$a_1 = 1$。
- 因为每一轮传播时，每个人都传给$3$个不同的好友，所以公比$q = 3$。
- 信息共传播了$10$轮，即项数$n = 10$。
### 步骤二：确定使用的等比数列前$n$项和公式
等比数列的前$n$项和公式为$S_{n}=\begin{cases}na_1, & q = 1 \\ \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}, & q \neq 1 \end{cases}$。
由于本题中$q = 3\neq 1$，所以使用公式$S_{n}=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$来计算。
### 步骤三：代入数据计算$S_{10}$
将$a_1 = 1$，$q = 3$，$n = 10$代入公式$S_{n}=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$可得：
$S_{10}=\frac{1×(1 - 3^{10})}{1 - 3}=\frac{1 - 59049}{-2}=\frac{-59048}{-2}= 29524$（人）
综上，知晓这个信息的有$29524$人。

知识点一 等比数列的前$n$项和公式

[知识点反思1]

答案： $\begin{cases}na_1, & q = 1 \\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}, & q \neq 1\end{cases}\quad\begin{cases}na_1, & q = 1 \\frac{a_1 - a_nq}{1 - q}, & q \neq 1\end{cases}$

知识点二 等比数列前$n$项和公式的函数特征
1.当公比$q\neq1$时，设$A = \frac{a_{1}}{q - 1}$，等比数列的前$n$项和公式是$S_{n}=A(q^{n}-1)$，即$S_{n}$是$n$的指数型函数.
2.当公比$q = 1$时，因为$a_{1}\neq0$，所以$S_{n} =$$na_1$，$S_{n}$是$n$的正比例函数.
[知识点反思2]
[提示]
利用等比数列的前$n$项和公式可快速得出结果.
[知识点反思1]
求等比数列的前$n$项和，需对公比分$q = 1$与$q\neq1$两种情况进行讨论，当$q = 1$时，应利用公式$S_{n}=na_{1}$求和.
[知识点反思2]
(1)$S_{n}=Aq^{n}-A(q\neq1)$时，$\{ a_{n}\}$是首项为$(Aq - A)$，公比为$q$的等比数列；
(2)等比数列前$n$项和公式的结构特点，即$q^{n}$的系数与常数项互为相反数.

答案： 2. $ na_1 $