《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例3.用数学归纳法证明:$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ·s + \frac{1}{n^2} ＜ 1 - \frac{1}{n}(n \geqslant 2,n \in \mathbf{N}^*)$.[方法总结3]

答案： 证明
(1) 当$n = 2$时，左边$= \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$，右边$= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，$\because \frac{1}{4} ＜ \frac{1}{2}$，$\therefore$ 不等式成立。
(2) 假设当$n = k (k \geq 2, k \in \mathbf{N}^*)$时，不等式成立，即$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ·s + \frac{1}{k^2} ＜ 1 - \frac{1}{k}$。
则当$n = k + 1$时，
$\begin{aligned}&\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ·s + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k + 1)^2} ＜ 1 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k + 1)^2} \\=& 1 - \frac{(k + 1)^2 - k}{k(k + 1)^2} = 1 - \frac{k^2 + k + 1}{k(k + 1)^2} ＜ 1 - \frac{k(k + 1)}{k(k + 1)^2} = 1 - \frac{1}{k + 1}.\end{aligned}$
$\therefore$ 当$n = k + 1$时，不等式也成立
根据
(1)和
(2)知，对任意$n \geq 2$的正整数，不等式均成立。

►跟踪训练3
求证:$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ·s + \frac{1}{3n} ＞ \frac{5}{6}(n \geqslant 2,n \in \mathbf{N}^*)$.
[方法总结3]
数学归纳法证明不等式的技巧
(1) 证明不等式时，由$n = k$到$n = k + 1$时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到$n = k$时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一；
(2) 数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法、综合法等.

答案： 证明
(1) 当$n = 2$时，左边$= \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} ＞ \frac{5}{6}$，不等式成立。
(2) 假设当$n = k (k \geq 2, k \in \mathbf{N}^*)$时不等式成立，即$\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ·s + \frac{1}{3k} ＞ \frac{5}{6}$，
则当$n = k + 1$时，$\frac{1}{(k + 1) + 1} + \frac{1}{(k + 1) + 2} + ·s + \frac{1}{3k} + \frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3(k + 1)}$
$\begin{aligned}=& \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ·s + \frac{1}{3k} + \left( \frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3k + 3} - \frac{1}{k + 1} \right) \\＞& \frac{5}{6} + \left( \frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3k + 3} - \frac{1}{k + 1} \right) \\＞& \frac{5}{6} + \left( 3 × \frac{1}{3k + 3} - \frac{1}{k + 1} \right) = \frac{5}{6},\end{aligned}$
所以当$n = k + 1$时不等式也成立。
由
(1)
(2)可知，原不等式对一切$n \geq 2, n \in \mathbf{N}^*$均成立。