《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练3
已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + ·s + na_{n} = n^{2} (n \in \mathbf{N}^*)$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 跟踪训练3：【解析】 由$ a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+·s+na_{n}=n^{2}$， ① 当$ n\geqslant 2$时，可得$ a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+·s+(n - 1)· a_{n - 1}=(n - 1)^{2}$， ② 所以由①$-$②得$ na_{n}=n^{2}-(n - 1)^{2}=2n - 1$， 即$ a_{n}=2-\frac{1}{n}(n\geqslant 2)$， 当$ n = 1$时，$ a_{1}=1$也满足上式， 所以$ a_{n}=2-\frac{1}{n}(n\in\mathbf{N}^{*})$.

1. 已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{2} = 1$，$a_{n} + a_{n + 1} = 2n$，$n \in \mathbf{N}^*$，则$a_{1} + a_{3}$的值为

A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$8$

答案： 1. A 由$ a_{2}=1,a_{n}+a_{n + 1}=2n,n\in\mathbf{N}^{*}$，可得$ a_{1}+a_{2}=2$，$ a_{2}+a_{3}=4$，解得$ a_{1}=1$，$ a_{3}=3$，$ a_{1}+a_{3}=4$.

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1} = 1$，$\sqrt{a_{n + 1}} - \sqrt{a_{n}} = 1$，则$a_{10} =$

A.$10$
B.$20$
C.$100$
D.$200$

答案： 2. C 数列$\{ a_{n}\}$满足$ a_{1}=1$，$\sqrt{a_{n + 1}}-\sqrt{a_{n}}=1$，可得$\sqrt{a_{1}}=1$，$\sqrt{a_{2}}-\sqrt{a_{1}}=1$，$\sqrt{a_{3}}-\sqrt{a_{2}}=1$，$·s$，$\sqrt{a_{10}}-\sqrt{a_{9}}=1$，叠加可得$\sqrt{a_{10}}=10$，所以$ a_{10}=100$.

3. (多选) 由$1, 3, 5, ·s, 2n - 1, ·s$构成数列$\{ a_{n}\}$，数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{1} = 2$，当$n \geqslant 2$时，$b_{n} = a_{b_{n - 1}}$，则 (BD)

A.$b_{3}$的值是$7$
B.$b_{4}$的值是$9$
C.$b_{5}$的值是$15$
D.$b_{6}$的值是$33$

答案： 3. BD 因为$ b_{n}=a_{b_{n - 1}}$，所以$ b_{2}=a_{b_{1}}=a_{2}=3$，$ b_{3}=a_{b_{2}}=a_{3}=5$，$ b_{4}=a_{b_{3}}=a_{5}=9$，$ b_{5}=a_{b_{4}}=a_{9}=17$，$ b_{6}=a_{b_{5}}=a_{17}=33$.

4. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n} = 3^{n} - 1$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 4. 【解析】 当$ n = 1$时，$ a_{1}=S_{1}=2$， 当$ n\geqslant 2$时，$ a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=3^{n}-1-(3^{n - 1}-1)=2×3^{n - 1}$， 显然$ a_{1}=2$适合上式，所以$ a_{n}=2×3^{n - 1}(n\in\mathbf{N}^{*})$.