《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

利用公式$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d = \frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n$可求等差数列前$n$项和$S_n$，也可求$S_{2n},S_{3n},·s$，那么数列$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},·s$有什么规律呢?
[提示]

答案： $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},·s$构成等差数列。

知识点一 等差数列前$n$项和的常见性质
1. 若数列$\{ a_n \}$是公差为$d$的等差数列，则数列$\left\{ \frac{S_n}{n} \right\}$也是等差数列，且公差为$\frac{d}{2}$.
2. 若$S_n,S_{2n},S_{3n},·s$分别为等差数列$\{ a_n \}$的前$n$项，前$2n$项，前$3n$项，$·s$和，则$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},·s$也成等差数列，公差为 .$n^2d$
[知识点反思 1]

答案： 1. $\frac{d}{2}$
2. $n^2d$

知识点二 等差数列前$n$项和的最值
1. 在等差数列$\{ a_n \}$中，
(1) 当$a_1 ＞ 0,d ＜ 0$时，$S_n$有 ______ 值，使$S_n$取到最值的$n$可由不等式组$\begin{cases}a_n \geq 0, \\ a_{n + 1} \leq 0\end{cases}$确定；
(2) 当$a_1 ＜ 0,d ＞ 0$时，$S_n$有 值，使$S_n$取到最值的$n$可由不等式组$\begin{cases} a_n \leq 0, \\ a_{n + 1} \geq 0 \end{cases}$确定.
2. 因为$S_n = \frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n$，若$d \neq 0$，则从二次函数的角度看：当$d ＞ 0$时，$S_n$有值；当$d ＜ 0$时，$S_n$有值，且$n$取最接近对称轴的自然数时，$S_n$取到最值.
[知识点反思 2]
[提示]
$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},·s$构成等差数列.
[知识点反思 1]
性质(1)可从公式$S_n = \frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n$来理解，$\frac{S_n}{n} = \frac{d}{2}n + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)$是关于$n$的一次函数；
性质(2)简单地说就是等差数列$n$项，$n$项，$n$项，$·s$求和仍构成等差数列.
[知识点反思 2]
由于$n$取正整数，所以$S_n$不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点横坐标最近的取整数的点处取得最值.

答案： 1.
(1)最大
(2)最小
2. 最小 最大