《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

▶$[$跟踪训练$1]$
记数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，已知$a_{1} = 2,S_{n + 1} - 2S_{n} = n$,则$a_{10} =$ ()

A.$1 024$
B.$1 023$
C.$513$
D.$256$

答案： B

例$2$.在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 1,a_{n + 1} = 3a_{n} + 2^{n + 1}$,求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式. ▶$[$方法总结$2]$

答案： $因为a_{n + 1} = 3a_{n} + 2^{n + 1}$，两边同时除以$2^{n + 1}$可得$\frac{a_{n + 1}}{2^{n + 1}} = \frac{3}{2} · \frac{a_{n}}{2^{n}} + 1$。
设$b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n}}$，则$b_{n + 1} = \frac{3}{2}b_{n}+1$，进一步变形为$b_{n + 1} + k=\frac{3}{2}(b_{n}+k)$（其中$k$为常数），即$b_{n + 1}=\frac{3}{2}b_{n}+\frac{1}{2}k$。
所以$\frac{1}{2}k = 1$，解得$k = 2$。
那么$b_{n + 1}+2=\frac{3}{2}(b_{n}+2)$，又$b_1=\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$，所以$b_1 + 2=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。
所以数列$\{ b_{n}+2\}$是以$\frac{5}{2}$为首项，$\frac{3}{2}$为公比的等比数列。
根据等比数列通项公式$b_{n}+2=\frac{5}{2}×(\frac{3}{2})^{n - 1}$，则$b_{n}=\frac{5}{2}×(\frac{3}{2})^{n - 1}-2$。
因为$b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n}}$，所以$a_{n}=2^{n}b_{n}=5×3^{n - 1}-2^{n + 1}$。
综上，数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=5×3^{n - 1}-2^{n + 1}$。

▶$[$跟踪训练$2]$
已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1} = 2a_{n} + 3 · 2^{n},a_{1} = 2$,求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 解：
1. 由递推公式 $a_{n+1} = 2a_n + 3 · 2^n$，两边同除以 $2^{n+1}$，得：
$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \frac{3}{2}$。
2. 设 $b_n = \frac{a_n}{2^n}$，则上式化为 $b_{n+1} = b_n + \frac{3}{2}$，
故 $\{b_n\}$ 是以 $\frac{3}{2}$ 为公差的等差数列。
3. 由 $a_1 = 2$，得 $b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{2}{2} = 1$。
4. $\{b_n\}$ 的通项公式为：
$b_n = b_1 + (n-1)d = 1 + (n-1) · \frac{3}{2} = \frac{3n - 1}{2}$。
5. 因 $b_n = \frac{a_n}{2^n}$，故 $a_n = b_n · 2^n = \frac{3n - 1}{2} · 2^n = (3n - 1) · 2^{n-1}$。
结论： 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = (3n - 1) · 2^{n-1}$。