《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 设$f(x) = ax - b$,若$f^{\prime}( - 1) = 4$,则$a =$ (D)

A.$- 2$ 　　
B.$- 1$　　
C.$0$ 　　
D.$4$

答案： 1. D 因为$f(x) = ax - b$，则$f^\prime(x)=a$，所以$f^\prime(-1)=a = 4$。

2. 函数$y = x^{2}\sin x$的导数为 (D)

A.$y^{\prime} = 2x + \cos x$ 　　　　
B.$y^{\prime} = x^{2}\cos x$
C.$y^{\prime} = 2x\cos x$ 　　　　
D.$y^{\prime} = 2x\sin x + x^{2}\cos x$

答案： 2. D 根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，对于$y = x^{2}\sin x$，$u = x^2$，$u^\prime = 2x$；$v = \sin x$，$v^\prime = \cos x$，所以$y^\prime = 2x\sin x + x^{2}\cos x$。

3. 函数$f(x) = \frac{x^{2}}{x + 3}$的导数是 (A)

A.$f^{\prime}(x) = \frac{x^{2} + 6x}{(x + 3)^{2}}$　　
B.$f^{\prime}(x) = \frac{x^{2} + 6x}{x + 3}$
C.$f^{\prime}(x) = \frac{- 2x}{(x + 3)^{2}}$　　
D.$f^{\prime}(x) = \frac{3x^{2} + 6x}{(x + 3)^{2}}$

答案： 3. A 根据除法求导法则$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，对于$f(x) = \frac{x^{2}}{x + 3}$，$u = x^2$，$u^\prime = 2x$；$v = x + 3$，$v^\prime = 1$，则$f^\prime(x)=\frac{2x(x + 3) - x^2}{(x + 3)^2}=\frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x + 3)^2}=\frac{x^2 + 6x}{(x + 3)^2}$。

4. 若曲线$y = x^{3} + ax$在坐标原点处的切线方程是$2x - y = 0$，则实数$a =$2 .

答案： 4. 2 已知曲线$y = x^{3} + ax$，对其求导得$y^\prime = 3x^2 + a$。因为切线方程$2x - y = 0$，即$y = 2x$，其斜率为$2$。曲线在原点处的切线斜率等于该点的导数值，将$x = 0$代入$y^\prime$得$y^\prime|_{x = 0}=a$，所以$a = 2$。

函数$y = \ln(2x - 1)$不是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的初等函数，无法利用初等函数的求导法则和公式求导.而$y = \ln(2x - 1)$可以看成是由$y = \ln u$和$u = 2x - 1\left( x ＞ \frac{1}{2} \right)$经过“复合”得到的，许多函数都可以看成是两个初等函数“复合”而成的，这样的函数如何求导
呢? ➩[提示]

答案： 可利用复合函数的求导法则进行求导.

知识点 　复合函数
1. 概念：一般地，对于两个函数$y = f(u)$和$u = g(x)$，如果通过中间变量$u,y$可以表示成$x$的函数，那么称这个函数为函数$y = f(u)$和$u = g(x)$的复合函数，记作$y =$$ f(g(x)) $.
2. 求导法则：一般地，对于由函数$y = f(u)$和$u = g(x)$复合而成的函数$y = f(g(x))$，它的导数与函数$y = f(u),u = g(x)$的导数间的关系为$y_{x}^{\prime} =$$ y'_u · u'_x $.即$y$对$x$的导数等于$ y $对$ u $ 的导数与$ u $对$ x $ 的导数的乘积. ➩[知识点反思]
[提示]
可利用复合函数的求导法则进行求导.
[知识点反思]
(1)在复合函数中，为了叙述明确，常把函数$y = f(u)$称为外层函数，把$u = g(x)$称为内层函数，内层函数和外层函数通常为基本初等函数；
(2)求复合函数的导数应处理好以下环节：
①中间变量的选择应以拆分为两个基本初等函数为准；
②求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；
③求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.

答案： 知识点
1. $ f(g(x)) $
2. $ y'_u · u'_x $ $ y $对$ u $ $ u $对$ x $