《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 从语文、数学、英语 3 本书中任选 2 本.
(1) 与选取的顺序有关吗？
(2) 一共有多少种选法？

答案： 问题1.
(1)提示:无关.
(2)提示:将2本书作为一组的选法只有如下3种情况:语文数学，语文英语，数学英语.即共有3种选法。

问题 2. 已知 a,b,c,d 四个元素,求取出 2 个元素的所有排列数.

答案： 问题2.提示:取出2个元素的所有排列数为$A_{4}^{2}$，可分2步完成:第1步:从4个元素中取出2个元素作为一组，共有$C_{4}^{2}$种不同取法；第2步:将取出的2个元素进行全排列，共有$A_{2}^{2}$种不同方法。根据分步乘法计数原理得:$A_{4}^{2}=C_{4}^{2}A_{2}^{2}$。

问题 3. 推广到一般,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n,且 m,n∈N₊)个元素的所有排列数是多少？

答案： 问题3.提示:取出m个元素的所有排列数为$A_{n}^{m}$，可分2步完成:第1步:从n个元素中取出m个元素作为一组，共有$C_{n}^{m}$种不同取法；第2步:将取出的m个元素进行全排列，共有$A_{m}^{m}$种不同方法。根据分步乘法计数原理得:$A_{n}^{m}=C_{n}^{m}A_{m}^{m}$。

1. 组合及组合问题
(1) 组合
一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n,且 m,n∈N₊)个元素为一组,叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
(2) 组合问题
把有关求组合的个数的问题叫作组合问题.

答案： 1.
(1)不同 元素
(2)组合的个数

2. 组合数的概念、公式、性质
(1) 组合数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n,且 m,n∈N₊)个元素的所有组合的个数,叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,记作 Cₙᵐ.
(2) 组合数公式：Cₙᵐ = $\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}$ = $\frac{n(n - 1)(n - 2)…\cdot \cdot [n - (m - 1)]}{m(m - 1)(m - 2)…\cdot \cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{n!}{m!(n - m)!}$.
(3) 规定：Cₙ⁰ = 1.
(4) 组合数的性质
性质 1：Cₙᵐ = $C_{n}^{n - m}$.
性质 2：Cₙ₊₁ᵐ = $C_{n}^{m}$ + $C_{n}^{m - 1}$.

答案： 2.
(1)所有组合
(3)1
(4)$C_{n}^{n - m}$ $C_{n}^{m}$ $C_{n}^{m - 1}$

【典例 1】 (多选题)下列问题是组合问题的是(AD)
A.a,b,c,d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场
B.a,b,c,d 四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果
C.从全班 40 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法
D.从全班 40 人中选出 3 人参加某项活动,有多少种不同的选法

答案： AD