《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例 2】 在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限,半径为 $2\sqrt{2}$ 的圆 $C$ 与直线 $y = x$ 相切于原点 $O$,椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{9} = 1$ 与圆 $C$ 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 $10$.
(1)求圆 $C$ 的方程；
(2)试探究圆 $C$ 上是否存在异于原点的点 $Q$,使 $Q$ 到椭圆右焦点 $F$ 的距离等于线段 $OF$ 的长. 若存在,请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案： 【解析】
(1)由题意知,圆心在直线y=-x上,设圆心坐标是(-p,p)(p＞0),则圆的方程为(x+p)²+(y-p)²=8,由于点O(0,0)在圆上,所以p²+p²=8,解得p=2,所以圆C的方程为(x+2)²+(y-2)²=8.
(2)存在.由椭圆x²/a²+y²/9=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10,知2a=10,a=5,所以椭圆右焦点为F(4,0).假设存在异于原点的点Q(m,n)使|QF|=|OF|,则有{(m+2)²+(n-2)²=8,(m-4)²+n²=16,且m²+n²≠0,解得{m=4/5,n=12/5,故圆C上存在满足条件的点Q(4/5,12/5).

试问能否找到一条斜率为 $k(k\neq 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{3}+y^{2} = 1$ 交于两个不同的点 $M$,$N$,且使 $M$,$N$ 到点 $A(0,1)$ 的距离相等？若存在,求出 $k$ 的取值范围；若不存在,请说明理由.
课时巩固请使用 课时作业本 二十四

答案： 【解析】存在.设直线l:y=kx+m为满足条件的直线,再设P为MN的中点,欲满足条件,只需AP⊥MN即可.
由{y=kx+m(m≠0),x²/3+y²=1,消y得(1+3k²)x²+6mkx+3m²-3=0.
设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),P(x_P,y_P),则x_P=x₁+x₂/2=-3mk/1+3k²,y_P=kx_P+m=m/1+3k²,
所以k_AP=3k²-m+1/3mk.
因为AP⊥MN,所以3k²-m+1/3mk=-1/k,故m=-3k²+1/2.
由Δ=36m²k²-4(1+3k²)(3m²-3)=9(1+3k²)(1-k²)＞0,得-1＜k＜1且k≠0.
故当k∈(-1,0)∪(0,1)时,存在满足条件的直线l.