《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

1. 已知直线过点 $ (1,2) $,斜率为 $ -2 $,则该直线的点斜式方程为(D)
A.$ y - 1 = 2(x - 2) $
B.$ y - 2 = 2(x - 1) $
C.$ y - 1 = -2(x - 2) $
D.$ y - 2 = -2(x - 1) $

答案： D

2. 写出下列直线的点斜式方程：
(1) 经过点 $ (2,5) $,倾斜角为 $ 45^{\circ} $；
(2) 经过点 $ C(-1,-1) $,且与 $ x $ 轴平行；
(3) 经过点 $ D(1,1) $,且与 $ x $ 轴垂直；
(4) 过 $ P(-2,3) $,$ Q(5,-4) $ 两点.

答案：
(1)$y-5=x-2$；
(2)$y-(-1)=0$；
(3)$x=1$，该直线没有点斜式方程；
(4)$y-3=-[x-(-2)]$

【典例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1) 斜率为 $ 2 $,在 $ y $ 轴上的截距是 $ 5 $；
(2) 倾斜角为 $ 150^{\circ} $,在 $ y $ 轴上的截距是 $ -2 $；
(3) 倾斜角为 $ 60^{\circ} $,与 $ y $ 轴的交点到坐标原点的距离为 $ 3 $.
【一题多变】
在本例(2)中,把条件“倾斜角为 $ 150^{\circ} $”改为“直线的一个法向量为 $ v = (-2,1) $”,其余条件不变,求直线的方程.

答案：
(1)$y=2x+5$；
(2)$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-2$；
(3)$y=\sqrt{3}x+3$或$y=\sqrt{3}x-3$；一题多变：因为直线的一个法向量为$\nu=(-2,1)$，所以该直线的一个方向向量为$\alpha=(1,2)$，则其斜率为2，故直线的斜截式方程为$y=2x-2$。