《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

若点 $ P $ 的坐标是 $ (5\cos\theta,4\sin\theta) $,圆 $ C $ 的方程为 $ x^2 + y^2 = 25 $,则点 $ P $ 与圆 $ C $ 的位置关系是(C)
A.点 $ P $ 在圆 $ C $ 内
B.点 $ P $ 在圆 $ C $ 上
C.点 $ P $ 在圆 $ C $ 内或圆 $ C $ 上
D.点 $ P $ 在圆 $ C $ 上或圆 $ C $ 外

答案： C

【典例 2】若 $ \triangle ABC $ 的顶点坐标分别是 $ A(0,0) $,$ B(5,0) $,$ C(0,12) $,求 $ \triangle ABC $ 的外接圆的方程。
【母题变式】
本例的条件不变,试求 $ \triangle ABC $ 的内切圆的方程。

答案： 【解析】设圆的方程为$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$,$\left\{\begin{array}{l} (0-a)^{2}+(0-b)^{2}=r^{2},\\ (5-a)^{2}+(0-b)^{2}=r^{2},\\ (0-a)^{2}+(12-b)^{2}=r^{2},\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} a^{2}+b^{2}=r^{2},\\ a^{2}+b^{2}-10a+25=r^{2},\\ a^{2}+b^{2}-24b+144=r^{2},\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=\frac {5}{2},\\ b=6,\\ r=\frac {13}{2}.\end{array}\right. $所以$\triangle ABC$的外接圆的标准方程为$(x-\frac {5}{2})^{2}+(y-6)^{2}$$=\frac {169}{4}.$
@@【解析】因为$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别为$A(0,0),B(5,0),$$C(0,12)$,所以$AB⊥AC,AB=5,AC=12,BC=13,$所以$\triangle ABC$的内切圆的半径$r=\frac {5+12-13}{2}=2$,圆心为$(2,2),$所以$\triangle ABC$的内切圆的标准方程为$(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4.$

若 $ \triangle ABC $ 的顶点坐标分别是 $ A(5,1) $,$ B(7,-3) $,$ C(2,-8) $,求 $ \triangle ABC $ 的外接圆的方程。

答案： 【解析】设所求圆的方程为$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},$
因为$A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)$都在圆上,
所以$\left\{\begin{array}{l} (5-a)^{2}+(1-b)^{2}=r^{2},\\ (7-a)^{2}+(-3-b)^{2}=r^{2},\\ (2-a)^{2}+(-8-b)^{2}=r^{2},\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=-3,\\ r^{2}=25,\end{array}\right. $
所以$\triangle ABC$的外接圆的方程是$(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=25.$

【典例 3】已知圆 $ C $ 过点 $ A(6,0) $,$ B(1,5) $ 且圆心在直线 $ l:2x - 7y + 8 = 0 $ 上,求圆 $ C $ 的方程。

答案： 【解析】设所求圆的方程为$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.$
由题意可得$\left\{\begin{array}{l} (6-a)^{2}+(0-b)^{2}=r^{2},\\ (1-a)^{2}+(5-b)^{2}=r^{2},\\ 2a-7b+8=0,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} a=3,\\ b=2,\\ r^{2}=13,\end{array}\right. $
所以圆 C 的方程为$(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=13.$

已知圆过两点 $ A(3,1) $,$ B(-1,3) $,且它的圆心在直线 $ 3x - y - 2 = 0 $ 上,求此圆的方程。
课时巩固请使用 课时作业本 七

答案： 【解析】设所求圆的方程为$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$,依题意,
$\left\{\begin{array}{l} (3-a)^{2}+(1-b)^{2}=r^{2},\\ (-1-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2},\\ 3a-b-2=0,\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} a^{2}+b^{2}-6a-2b=r^{2}-10,\\ a^{2}+b^{2}+2a-6b=r^{2}-10,\\ 3a-b-2=0,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=4,\\ r=\sqrt {10},\end{array}\right. $所以所求圆的方程是$(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=10.$