《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题：观察$(a + b)^1$,$(a + b)^2$,$(a + b)^3$,$(a + b)^4$的展开式,你能发现哪些规律？
1. $(a + b)^1 = a + b$.
2. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
3. $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
4. $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

答案： 提示:观察题中的4个式子可发现以下规律：
(1)$(a+b)^{n}$的展开式中共有$n+1$项；
(2)每一项都是n次单项式,各项按照a的降幂,b的升幂排列；
(3)每项系数为从n个括号中选取b的个数的组合数$C_{n}^{k}.$

二项式定理及其相关概念
$(a + b)^n = $$C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\cdots +C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}+\cdots +C_{n}^{n}b^{n}$$(k = 0, 1, 2, …, n)$,称为二项式定理. 上式可简写成$(a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k} (k = 0, 1, 2, …, n)$.
等号右边的式子称为$(a + b)^n$的二项展开式,$(a + b)^n$的二项展开式共有$(n+1)$项,其中各项系数$C_{n}^{k}$(k = 0, 1, 2, …, n) 称为二项式系数,式中的$C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$用$T_{k + 1}$表示,称为二项展开式中第$(k+1)$项,又称为二项式通项,记作$T_{k + 1} = $$C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$.

答案： $C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\cdots +C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}+\cdots +C_{n}^{n}b^{n}$ $(n+1)$ $C_{n}^{k}$ $C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$ $(k+1)$ 二项式通项 $C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$

【典例 1】
1. 二项式$(x + 2)^3$的展开式为(B)

A.$x^3 + 6x^2 + 6x + 8$
B.$x^3 + 6x^2 + 12x + 8$
C.$x^3 + 12x^2 + 6x + 8$
D.$x^3 + 12x^2 + 12x + 8$

答案： B

2. 计算：$C_{2026}^{1} + 2C_{2026}^{2} + 3C_{2026}^{3} + 4C_{2026}^{4} + … + 2026C_{2026}^{2026} = $(D)
A.$2^{2025} - 1$
B.$2^{2027} - 1$
C.$1013 × 2^{2025}$
D.$1013 × 2^{2026}$

答案： D

 3. 求$(3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^4$的展开式.

答案： 【解析】方法一：$(3\sqrt {x}+\frac {1}{\sqrt {x}})^{4}=(3\sqrt {x})^{4}+C_{4}^{1}(3\sqrt {x})^{3}\frac {1}{\sqrt {x}}+C_{4}^{2}(3\sqrt {x})^{2}(\frac {1}{\sqrt {x}})^{2}+C_{4}^{3}(3\sqrt {x})(\frac {1}{\sqrt {x}})^{3}+C_{4}^{4}(\frac {1}{\sqrt {x}})^{4}=81x^{2}+108x+54+\frac {12}{x}+\frac {1}{x^{2}}.$
方法二：$(3\sqrt {x}+\frac {1}{\sqrt {x}})^{4}=(\frac {3x+1}{\sqrt {x}})^{4}=\frac {1}{x^{2}}(1+3x)^{4}=\frac {1}{x^{2}}[1+C_{4}^{1}(3x)+C_{4}^{2}(3x)^{2}+C_{4}^{3}(3x)^{3}+C_{4}^{4}(3x)^{4}]=\frac {1}{x^{2}}(1+12x+54x^{2}+108x^{3}+81x^{4})=\frac {1}{x^{2}}+\frac {12}{x}+54+108x+81x^{2}.$