《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

1. 四种电子元件组成的电路如图所示,$ T_1,T_2,T_3,T_4 $ 电子元件正常工作的概率分别为 $ 0.9,0.8,0.7,0.6 $,则该电路正常工作的概率为0.7956.

2. 一个电路如图所示,$ A,B,C,D $ 为 4 个开关,其闭合的概率均为 $ \frac{2}{3} $,且是相互独立的,则灯亮的概率为$\frac{76}{81}$.

答案： 1. $0.7956$；2. $\frac{76}{81}$

甲、乙两人破译一密码,他们能破译的概率分别为 $ \frac{1}{3} $ 和 $ \frac{1}{4} $. 求：
(1) 两人都能破译的概率；
(2) 两人都不能破译的概率；
(3) 恰有一人能破译的概率；
(4) 至多有一人能够破译的概率.

答案： 设“甲能破译”为事件$A$，“乙能破译”为事件$B$，已知$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(B)=\frac{1}{4}$，且$A$与$B$相互独立。
(1) 两人都能破译的概率为$P(A\cap B)$，因为$A$与$B$相互独立，所以$P(A\cap B)=P(A)× P(B)=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$。
(2) 两人都不能破译的概率为$P(\overline{A}\cap\overline{B})$，因为$\overline{A}$与$\overline{B}$相互独立，所以$P(\overline{A}\cap\overline{B})=P(\overline{A})× P(\overline{B})=(1 - \frac{1}{3})×(1 - \frac{1}{4})=\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$。
(3) 恰有一人能破译的概率为$P(A\cap\overline{B}+\overline{A}\cap B)$，因为$A$与$\overline{B}$，$\overline{A}$与$B$分别相互独立，且$A\cap\overline{B}$与$\overline{A}\cap B$互斥，所以$P(A\cap\overline{B}+\overline{A}\cap B)=P(A\cap\overline{B})+P(\overline{A}\cap B)=P(A)× P(\overline{B})+P(\overline{A})× P(B)=\frac{1}{3}×(1 - \frac{1}{4})+(1 - \frac{1}{3})×\frac{1}{4}=\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$。
(4) “至多有一人能够破译”的对立事件是“两人都能破译”，所以至多有一人能够破译的概率为$1 - P(A\cap B)=1 - \frac{1}{12}=\frac{11}{12}$。
综上，答案依次为：
(1)$\frac{1}{12}$；
(2)$\frac{1}{2}$；
(3)$\frac{5}{12}$；
(4)$\frac{11}{12}$。