《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

在平行六面体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,设 $\overrightarrow{AB}= a$,$\overrightarrow{AD}= b$,$\overrightarrow{AA_1}= c$,$E$,$F$ 分别是 $AD_1$,$BD$ 的中点.
(1) 用向量 $a$,$b$,$c$ 表示 $\overrightarrow{D_1B}$,$\overrightarrow{EF}$；
(2) 若 $\overrightarrow{D_1F}= xa + yb + zc$,求实数 $x$,$y$,$z$ 的值.

答案：
(1)$\overrightarrow {D_{1}B}=a-b-c.$$\overrightarrow {EF}=\frac {1}{2}a-\frac {1}{2}c.$
(2)$x=\frac {1}{2},y=-\frac {1}{2},z=-1.$

【典例 3】如图所示,已知平行六面体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,$E$,$F$ 分别是 $BB_1$ 和 $DD_1$ 上的点,并且 $|BE|= \frac{1}{3}|BB_1|$,$|DF|= \frac{2}{3}|DD_1|$.
(1) 证明：$A$,$E$,$C_1$,$F$ 四点共面.
(2) 若 $\overrightarrow{EF}= x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AA_1}$,求 $x + y + z$ 的值.

答案： 【解析】
(1)$\overrightarrow {AC_{1}}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CC_{1}}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AA_{1}}=$$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}+\frac {1}{3}\overrightarrow {AA_{1}}+\frac {2}{3}\overrightarrow {AA_{1}}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BE}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DF}=\overrightarrow {AE}+$$\overrightarrow {AF}$,故A,E,$C_{1}$,F四点共面.
(2)因为$\overrightarrow {EF}=\overrightarrow {AF}-\overrightarrow {AE}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DF}-\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {BE}=\overrightarrow {AD}+\frac {2}{3}\overrightarrow {AA_{1}}$$-\overrightarrow {AB}-\frac {1}{3}\overrightarrow {AA_{1}}=-\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}+\frac {1}{3}\overrightarrow {AA_{1}}$,所以$x=-1,y=1,$$z=\frac {1}{3}$,所以$x+y+z=\frac {1}{3}.$

已知 $A$,$B$,$C$ 三点不共线,空间中的一点 $M$ 满足 $\overrightarrow{OM}= \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$.
(1) 判断 $\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MB}$,$\overrightarrow{MC}$ 三个向量是否共面；
(2) 判断点 $M$ 是否在平面 $ABC$ 内.

答案： 【解析】
(1)因为$\overrightarrow {OM}=\frac {1}{3}\overrightarrow {OA}+\frac {1}{3}\overrightarrow {OB}+\frac {1}{3}\overrightarrow {OC}$,所以$\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+$$\overrightarrow {OC}=3\overrightarrow {OM}$,所以$\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OM}=(\overrightarrow {OM}-\overrightarrow {OB})+(\overrightarrow {OM}-\overrightarrow {OC})$,所以$\overrightarrow {MA}=\overrightarrow {BM}+\overrightarrow {CM}=-\overrightarrow {MB}-\overrightarrow {MC}$,所以向量$\overrightarrow {MA},\overrightarrow {MB},\overrightarrow {MC}$共面.
(2)由
(1)知向量$\overrightarrow {MA},\overrightarrow {MB},\overrightarrow {MC}$共面,又这三个向量有公共点M,所以M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内.