《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题：在含有10件次品的100件产品中,任意取4件,变量$X$表示4件产品中的次品数.
(1)随机试验的结果构成的样本空间是什么？
(2)$X = 2$代表什么？
(3)变量$X$有什么特征？

答案：
(1)提示:如果用0表示"正品",用1表示"次品",用0和1构成的长度为4的字符串表示样本点,则样本空间:Ω={0000,0001,0010,0100,1000,0011,0101,1001,0110,1010,1100,0111,1011,1101,1110,1111}.
(2)提示:因为变量X表示4件产品中的次品个数,所以X=2代表出现的4件产品中含有2件次品,其事件包含的样本点为:0011,0101,1001,0110,1010,1100.
(3)提示:①取值依赖于样本点;②所有可能取值是明确的.

1. 随机变量
(1)定义：在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.
(2)表示：随机变量常用字母X,Y,ξ,η等来表示.

答案：
(1)数值 试验结果的变化而变化的量
(2)X Y ξ η

2. 离散型随机变量
(1)定义：取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.
(2)特征：
①可用数值表示；
②试验之前可以判断其出现的所有值；
③在试验之前不能确定取何值；
④试验结果能一一列出.

答案：
(1)一一列举出来

3. 离散型随机变量的分布列
(1)定义：若离散型随机变量$X的取值为x_{1}$,$x_{2}$,…,$x_{n}$,…,随机变量$X取x_{i}的概率为p_{i}(i = 1,2,…,n,…)$,记作$P(X = x_{i}) = p_{i}(i = 1,2,…,n,…)$.①式也可以列成表,如表：

表格或①式称为离散型随机变量$X$的分布列,简称为$X$的分布列.
(2)性质：
①$p_{i} ＞ 0(i = 1,2,…,n,…)$；
②$p_{1} + p_{2} + … + p_{n} + …= $1.

答案：
(1)$p_{1}$ $p_{2}$ $p_{n}$ 分布列 分布列
(2)②1

4. 两点分布
如果随机变量$X$的分布列如表：

其中$0 ＜ p ＜ 1$,$q = 1 - p$,那么称离散型随机变量$X服从参数为p$的两点分布(又称$0 - 1$分布或伯努利分布).

答案： p q