《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题. 观察二项式$(a + b)^n$,当$n = 1,2,…,8$时的展开式的系数,你能发现什么规律？
$\begin{aligned}&1\\&a + b……………………1\ 1\\&(a + b)^2…………………1\ 2\ 1\\&(a + b)^3………………1\ 3\ 3\ 1\\&(a + b)^4……………1\ 4\ 6\ 4\ 1\\&(a + b)^5…………1\ 5\ 10\ 10\ 5\ 1\\&(a + b)^6………1\ 6\ 15\ 20\ 15\ 6\ 1\\&(a + b)^7……1\ 7\ 21\ 35\ 35\ 21\ 7\ 1\\&(a + b)^8…1\ 8\ 28\ 56\ 70\ 56\ 28\ 8\ 1\end{aligned} $

答案： 提示:
(1)每一行的系数具有对称性;
(2)当n为偶数时,中间项的二项式系数最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大;
(3)除1以外,每一个数都等于它"肩上"两个数之和;
(4)距首末两项距离相等的两项值相等.

1. 杨辉三角

上表叫作二项式系数表,历史上也称为杨辉三角. 它有如下的规律：
(1) 表中每行两端都是1.
(2) 除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和.

答案：
(1)1；
(2)和

3. 二项展开式的系数和问题
(1) $\mathrm{C}_n^0 + \mathrm{C}_n^1 + \mathrm{C}_n^2 + … + \mathrm{C}_n^n = $$2^{n}$.
(2) $\mathrm{C}_n^0 + \mathrm{C}_n^2 + \mathrm{C}_n^4 + … = \mathrm{C}_n^1 + \mathrm{C}_n^3 + \mathrm{C}_n^5 + … = 2^{n - 1}$.

答案：
(1)$2^{n}$

【典例 1】设$(1 - 2x)^{2026} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_{2026} \cdot x^{2026}(x \in \mathrm{R})$.
(1) 求$a_0 + a_1 + a_2 + … + a_{2026}$的值；
(2) 求$a_1 + a_3 + a_5 + … + a_{2025}$的值；
(3) 求$|a_0| + |a_1| + |a_2| + … + |a_{2026}|$的值.
【母题变式】
求本例中$a_1 + a_2 + … + a_{2026}$的值.

答案：
(1)令$x=1$,得$a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{2026}=(-1)^{2026}=1$.①
(2)令$x=-1$,得$a_{0}-a_{1}+a_{2}-\cdots -a_{2025}+a_{2026}=3^{2026}$,②①-②得$2(a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{2025})=1-3^{2026}$,所以$a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots +a_{2025}=\frac {1-3^{2026}}{2}$.
(3)因为$T_{r+1}=C_{2026}^{r}(-2x)^{r}=(-1)^{r}\cdot C_{2026}^{r}\cdot (2x)^{r}$,所以$a_{2k-1}＜0(k\in\mathbf{N}_{+}),a_{2k}＞0(k\in\mathbf{N}_{+})$.所以$|a_{0}|+|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+\cdots +|a_{2026}|$$=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots -a_{2025}+a_{2026}=3^{2026}$.
@@令$x=0$,得$a_{0}=1^{2026}=1$,所以$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{2026}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{2026}-a_{0}=1-1=0$.