《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 有一种彩票,每注售价 2 元,中奖的概率为 1%。如果每注奖的奖金为 50 元。
(1)购买一注彩票获得的收益为随机变量 $ X $,写出 $ X $ 的分布列；
(2)那么购买一注彩票的期望收益为多少元？

答案： （1）提示：随机变量 X 的取值为 48，-2，分布列为
X
48
-2
P
0.01
0.99
（2）提示：由题意购买一注彩票的期望收益为 48×$\frac{1}{100}$+(-2)×$\frac{99}{100}$=-1.5.

问题 2. 设离散型随机变量 $ X $,试问 $ \eta = aX + b $($ a $,$ b $ 是常数)也是随机变量吗？

答案： 提示：a,b 作为具体的常数，不会改变随机变量 X 的属性，所以是随机变量.

问题 3. 设 $ \eta = aX + b $,试用 $ EX $ 表示 $ E\eta $。

答案： 提示：Eη=(ax₁+b)p₁+(ax₂+b)p₂+…+(axᵢ+b)pᵢ+…+(axₙ+b)pₙ=a(x₁p₁+x₂p₂+…+xᵢpᵢ+…+xₙpₙ)+b(p₁+p₂+…+pᵢ+…+pₙ)=aEX+b.

1. 离散型随机变量的均值
设离散型随机变量 $ X $ 的分布列如表：

则称 $ EX = $ x₁p₁+x₂p₂+…+xᵢpᵢ+…+xₙpₙ为随机变量 $ X $ 的均值或数学期望(简称期望)。

答案： x₁p₁+x₂p₂+…+xᵢpᵢ+…+xₙpₙ

2. 均值的性质
(1)如果 $ X $ 为(离散型)随机变量,则 $ Y = aX + b $($ a $,$ b $ 为常数)也是随机变量,并且有 $ EY = E(aX + b) = $aEX+b。
(2)对于任意实数 $ a $,$ b $,$ X $,$ Y $ 都是随机变量,一定有 $ E(aX + bY) = aEX + bEY $。

答案： （1）aEX+b

【典例 1】一个袋中装有除颜色外其他都相同的 3 个白球和 4 个红球,从中任意摸出两个球,用 $ Y = 0 $ 表示“两个球全是白球”,用 $ Y = 1 $ 表示“两个球不全是白球”,则 $ Y $ 的均值为 $\frac{6}{7}$。

答案： $\frac{6}{7}$

【典例 2】A,B 两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同,两个试验方案的成功相互独立。已知 A,B 两个方案至少一个成功的概率为 0.36。
(1)求两个方案均获成功的概率；
(2)设试验成功的方案的个数为随机变量 $ X $,求 $ X $ 的分布列及数学期望。

答案： （1）设 A 方案、B 方案独立进行科学试验成功的概率均为 x，则 A,B 方案在试验中都未能成功的概率为$(1-x)^{2}$，则 1-$(1-x)^{2}$=0.36，x=0.2，所以两个方案均获成功的概率为$0.2^{2}=0.04$.
（2）X 的所有可能取值为 0,1,2，P(X=0)=0.64，P(X=1)=0.32，P(X=2)=0.04，X 的分布列为
X
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04
所以 EX=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.