《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 对于平面直角坐标系内的一条直线 $ l $,它的位置由哪些条件确定呢？
 

答案： 对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置可以由直线上的两点或一点及该直线与x轴的一个定夹角来确定.

 问题 2. 过平面内的一点 $ P $ 可作多少条直线？如何表示这些直线的倾斜程度？

答案： 过平面内的一点P可作无数条直线.这些直线的倾斜程度不同.可以根据直线与x轴正方向的夹角来描述直线相对于x轴的倾斜程度.

问题 3. 在平面直角坐标系中,设直线 $ l $ 的倾斜角为 $ \alpha $.
(1) 已知直线 $ l $ 经过两点 $ O(0,0) $,$ P(1,\sqrt{3}) $,角 $ \alpha $ 与 $ O $,$ P $ 的坐标有什么关系？
(2) 若直线 $ l $ 经过两点 $ P_1(1,1) $,$ P_2(2,2) $,则角 $ \alpha $ 与 $ P_1 $,$ P_2 $ 的坐标有什么关系？

答案：
(1)向量$\overrightarrow {OP}=(1,\sqrt {3})$,且直线OP的倾斜角为α,由正切函数的定义,有$tanα=\frac {\sqrt {3}}{1}=\sqrt {3}.$
(2)向量$\overrightarrow {P_{1}P_{2}}=(2 - 1,2 - 1)=(1,1)$,由正切函数的定义,有$tanα=\frac {1}{1}=1.$

1. 直线的倾斜角
(1) 定义：在平面直角坐标系中,对于一条与 $ x $ 轴相交的直线 $ l $,把 $ x $ 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 $ l $ 首次重合时所成的角,称为直线 $ l $ 的倾斜角,通常倾斜角用 $ \alpha $ 表示.
(2) 特例：当直线 $ l $ 和 $ x $ 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 $ 0 $.
(3) 范围：$[0,\pi)$.

答案： 首次重合