《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例 1】如图,某野生保护区监测中心设置在点 $O$ 处,正西、正东、正北处有 3 个监测点 $A$,$B$,$C$,且 $|OA| = |OB| = |OC| = 30\ km$。一名野生动物观察员在保护区遇险,发出求救信号,3 个监测点均收到求救信号,$A$ 点接收到信号的时间比 $B$ 点接收到信号的时间早 $\frac{40}{V_0}\ s$。(注：信号每秒传播 $V_0\ km$)
(1) 求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程。
(2) 若 $C$ 点信号失灵,现立即以 $C$ 为圆心进行“圆形”红外扫描,为保证有救援希望,扫描半径 $r$ 至少是多少千米？

答案： [典例1][解析]
(1)设观察员可能出现的位置为点P(x,y)，由题意，得|PB| - |PA| = $\frac{40}{V_0}$×V₀ = 40 ＜ |AB| = 60，故点P的轨迹为双曲线的左支。设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a ＞ 0,b ＞ 0,x ＜ 0)，又2a = 40，2c = 60，所以b² = c² - a² = 500，故点P的轨迹方程为$\frac{x^2}{400}-\frac{y^2}{500}=1$ (x ＜ 0)。
(2)设轨迹上一点为M(m,n)，则|MC| = $\sqrt{m^2+(n - 30)^2}=\sqrt{m^2+n^2 - 60n + 900}$，又$\frac{m^2}{400}-\frac{n^2}{500}=1$，所以m² = $\frac{4}{5}n^2 + 400$，所以|MC| = $\sqrt{\frac{9}{5}n^2 - 60n + 1300}=\sqrt{\frac{9}{5}(n - \frac{50}{3})^2 + 800}$ ≥ 20$\sqrt{2}$，当且仅当n = $\frac{50}{3}$时，|MC|取得最小值20$\sqrt{2}$，故扫描半径r至少是20$\sqrt{2}$km。

由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务,对商船进行护航。某日,甲舰在乙舰正东方向 $6\ km$ 处,丙舰在乙舰北偏西 $30^{\circ}$ 方向,相距 $4\ km$ 处。某时刻甲舰发现商船的求救信号,由于乙舰比甲舰距商船远,因此 $4\ s$ 后乙舰才发现这一信号,此信号的传播速度为 $1\ km/s$。
(1) 试确定商船所在曲线的轨迹方程。
(2) 若丙舰和乙舰发现这一信号的时间是相同的,甲舰赶赴救援时,行进的方向角应是多少？

答案：
[解析]
(1)设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰、商船。如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(-3,0)。由题意|PB| - |PA| = 4 ＜ 6 = |AB|，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a = 2，c = 3，所以双曲线方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ (x ≥ 2)。
(2)由题意知C(-5,2$\sqrt{3}$)，因为|PB| = |PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上。又易知k${_BC}$ = -$\sqrt{3}$，线段BC的中点D(-4,$\sqrt{3}$)，所以直线PD的方程为y - $\sqrt{3}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$(x + 4)，由$\begin{cases}\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1(x\geq2)\\y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 7)\end{cases}$得11x² - 56x - 256 = 0，解得$\begin{cases}x = 8\\y = 5\sqrt{3}\end{cases}$，得P点坐标为(8,5$\sqrt{3}$)，所以k${_PA}$ = $\frac{5\sqrt{3}}{8 - 3}$ = $\sqrt{3}$，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°。