《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例 1】已知椭圆 $ C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}= 1(a＞b＞0) $ 的右焦点坐标为 $ (\sqrt{3}, 0) $,且点 $ (0,-1) $ 在 $ C $ 上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 $ (1,0) $ 的直线 $ l $ 与椭圆 $ C $ 交于 $ M,N $ 两点,$ P $ 为线段 $ MN $ 的中点,$ A $ 为 $ C $ 的左顶点,求直线 $ PA $ 的斜率 $ k $ 的取值范围.

答案： 【解析】
(1)由题意,得{a² - b² = 3,b² = 1},解得{a = 2,b = 1},所以椭圆C的方程为$\frac{x²}{4}$ + y² = 1.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线AP的斜率k = 0.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为x = my + 1,联立方程{x = my + 1,$\frac{x²}{4}$ + y² = 1},得(m² + 4)y² + 2my - 3 = 0,Δ ＞ 0显然成立.设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),P(x₀,y₀),则y₁ + y₂ = -$\frac{2m}{m² + 4}$,所以y₀ = -$\frac{m}{m² + 4}$,则x₀ = my₀ + 1 = -$\frac{m²}{m² + 4}$ + 1 = $\frac{4}{m² + 4}$,而点A的坐标为(-2,0),所以直线AP的斜率k = $\frac{y₀}{x₀ + 2}$ = $\frac{-\frac{m}{m² + 4}}{\frac{4}{m² + 4}+2}$ = $\frac{-m}{2m² + 12}$.
①当m = 0时,k = 0.
②当m ≠ 0时,|k| = |$\frac{-m}{2m² + 12}$| = $\frac{1}{|2m + \frac{12}{m}|}$.
因为|2m + $\frac{12}{m}$| = |2m| + |$\frac{12}{m}$| ≥ 4$\sqrt{6}$,当且仅当|2m| = |$\frac{12}{m}$|时,等号成立,
所以0 ＜ $\frac{1}{|2m + \frac{12}{m}|}$ ≤ $\frac{\sqrt{6}}{24}$,从而 -$\frac{\sqrt{6}}{24}$ ≤ k ≤ $\frac{\sqrt{6}}{24}$且k ≠ 0.
综上所述,斜率k的取值范围是[-$\frac{\sqrt{6}}{24}$,$\frac{\sqrt{6}}{24}$].

已知抛物线 $ C: y^{2}= 2 p x(p＞0) $ 的焦点为 $ F $,过点 $ F $ 且垂直于 $ x $ 轴的直线交抛物线于 $ A,B $ 两点,$ |A B|= 4 $.
(1)求抛物线 $ C $ 的方程；
(2)若 $ M,N $ 是抛物线 $ C $ 上两动点,以 $ M N $ 为直径的圆经过点 $ P(1,2) $,$ M,N,P $ 三点都不重合,求 $ |M F|+|N F| $ 的最小值.

答案： 【解析】
(1)由题意知F($\frac{p}{2}$,0),所以|AB| = 2p = 4,所以p = 2,抛物线C的方程为y² = 4x.
(2)设直线MN的方程为x = my + n,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),由方程组{x = my + n,y² = 4x},得y² - 4my - 4n = 0,
所以Δ = (-4m)² + 16n ＞ 0,即m² + n ＞ 0,且y₁ + y₂ = 4m,y₁y₂ = -4n,所以x₁ + x₂ = (my₁ + n) + (my₂ + n) = m(y₁ + y₂) + 2n = 4m² + 2n,x₁x₂ = $\frac{y₁²}{4}$·$\frac{y₂²}{4}$ = n².
因为以MN为直径的圆经过点P(1,2),所以$\overrightarrow{PM}$⊥$\overrightarrow{PN}$,所以$\overrightarrow{PM}$·$\overrightarrow{PN}$ = 0,所以(x₁ - 1,y₁ - 2)·(x₂ - 1,y₂ - 2) = 0,即(x₁ - 1)(x₂ - 1) + (y₁ - 2)(y₂ - 2) = 0,所以x₁x₂ - (x₁ + x₂) + y₁y₂ - 2(y₁ + y₂) + 5 = 0,
所以n² - (4m² + 2n) - 4n - 8m + 5 = 0,所以(n - 3)² = (2m + 2)²,所以n = 2m + 5或n = -2m + 1.
若n = -2m + 1,则直线MN:x = my - 2m + 1过点P,不符合题意,舍去,所以n = 2m + 5,所以x₁ + x₂ = 4m² + 2n = 4m² + 4m + 10,则|MF| + |NF| = x₁ + x₂ + 2 = 4m² + 4m + 12 = 4(m + $\frac{1}{2}$)² + 11,所以当m = -$\frac{1}{2}$时,|MF| + |NF|取得最小值,最小值为11.