《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例3】如图,已知$M$,$N分别为四面体ABCD中平面BCD与平面ACD$的重心,$G为AM$上一点,且$\vert GM\vert : \vert GA\vert = 1 : 3$. 求证：$B$,$G$,$N$三点共线.

答案： 【证明】连接BG,BN(图略).设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c},\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$,则$\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AM}=-\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=-\frac{3}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{c},\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=-\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BG}$,所以$\overrightarrow{BN}//\overrightarrow{BG}$.又$BN\cap BG=B$,所以B,G,N三点共线.

【典例4】如图所示,已知矩形$ABCD和矩形ADEF$所在的平面互相垂直,点$M$,$N分别在对角线BD$,$AE$上,且$\vert BM\vert = \frac{1}{3}\vert BD\vert$,$\vert AN\vert = \frac{1}{3}\vert AE\vert$. 求证：向量$\overrightarrow{MN}$,$\overrightarrow{CD}$,$\overrightarrow{DE}$共面.

答案： 【证明】因为点M在BD上,且$|BM|=\frac{1}{3}|BD|$,所以$\overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.同理$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$.所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=(\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{BA}+(\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE})=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$.又$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{DE}$不共线,所以向量$\overrightarrow{MN},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DE}$共面.

1. 设$a$,$b$是空间中两个不共线的向量,已知$\overrightarrow{AB} = 9a + mb$,$\overrightarrow{BC} = -2a - b$,$\overrightarrow{DC} = a - 2b$,且$A$,$B$,$D$三点共线,则实数$m = $-3.

答案： 1.-3

2. 如图所示,已知空间四边形$ABCD$,$E$,$H分别是边AB$,$AD$的中点,$F$,$G分别是边CB$,$CD$上的点,且$\overrightarrow{CF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$,$\overrightarrow{CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$. 求证：四边形$EFGH$是梯形.

答案： 2.【证明】因为E,H分别是边AB,AD的中点,所以$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.则$\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$.因为$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{CG}-\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{BD}$,所以$\overrightarrow{EH}//\overrightarrow{FG}$,且$|\overrightarrow{EH}|=\frac{3}{4}|\overrightarrow{FG}|\neq|\overrightarrow{FG}|$.又F不在EH上,故四边形EFGH是梯形.