《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

已知以双曲线 $C$ 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为 $60^{\circ}$,求双曲线 $C$ 的离心率.

答案：
[解析]设双曲线方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，如图所示，
由于在双曲线中，c＞b，因此在$Rt\triangle OF_{1}B_{2}$中，只能是$\angle OF_{1}B_{2}=30^{\circ}$，所以$\frac{b}{c}=\tan 30^{\circ}$，$c=\sqrt{3}b$，所以$a=\sqrt{2}b$，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

【典例4】 设双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1},F_{2}$,点 $M$ 是 $C$ 上的点,若 $\triangle MF_{1}F_{2}$ 是等腰直角三角形,则 $C$ 的离心率是(D)
A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}$
D.$\sqrt{2}+1$

答案： D