《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题.观察图示,探究下列问题.
(1) 如图所示的双曲线的图象分布范围是否有限？如果有限,最左、最右、最低、最高分别到什么位置？

(2) 观察双曲线图形,它是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？
(3) 类比求椭圆顶点的方法,双曲线$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的顶点是什么？

答案：
(1)提示:双曲线的图象分布范围是无限的，双曲线两支分别位于直线x=-a及其左侧与直线x=a及其右侧区域，向左右两边无限延伸.
(2)提示:是轴对称图形，x轴、y轴是双曲线的对称轴;是中心对称图形，对称中心是原点.
(3)提示:与x轴有两个交点A₁(-a,0),A₂(a,0)，都称为双曲线的顶点.

1. 双曲线的几何性质

x≤-a x≥a R y≤-a y≥a R 坐标轴 原点
A₁(-a,0),A₂(a,0) A₁(0,-a),A₂(0,a) A₁A₂ 2a
B₁B₂ 2b a b $\frac{c}{a} \in (1,+\infty)$ $y=\pm \frac{b}{a}x$ $y=\pm \frac{a}{b}x$

答案： x≤-a x≥a R y≤-a y≥a R 坐标轴 原点
A₁(-a,0),A₂(a,0) A₁(0,-a),A₂(0,a) A₁A₂ 2a
B₁B₂ 2b a b $\frac{c}{a} \in (1,+\infty)$ $y=\pm \frac{b}{a}x$ $y=\pm \frac{a}{b}x$

2. 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,它的渐近线方程为$y= \pm x$.

答案： 等长 等轴双曲线 $y=\pm x$

【典例1】 求双曲线 $9y^{2}-4x^{2}= -36$ 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.

答案： [解析]双曲线的方程化为标准形式是$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$，所以$a^{2}=9$，$b^{2}=4$，所以a=3，b=2，$c=\sqrt{13}$；又双曲线的焦点在x轴上，所以顶点坐标为(-3,0)，(3,0)，焦点坐标为$(-\sqrt{13},0)$，$(\sqrt{13},0)$，实轴长2a=6，虚轴长2b=4，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{3}$，渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{2}{3}x$.