《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

已知圆$C_1:x^2 + y^2 - 2x + my + 1 = 0(m\in\mathbf{R})$关于直线$x + 2y + 1 = 0$对称,圆$C_2$的标准方程是$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$,则圆$C_1与圆C_2$的位置关系是(B)
A.外离
B.相切
C.相交
D.内含

答案： B

【典例2】(1)若圆$x^2 + y^2 = 1与圆x^2 + y^2 - 6x - 8y - m = 0$相切,则$m的值为\underline{-9或11}$.
(2)当两圆$C_1:x^2 + y^2 + 4x - 6y + 12 = 0$,$C_2:x^2 + y^2 - 2x - 14y + k = 0$相切、相交或相离时,分别求出实数$k$的值.
[解析]将两圆的一般方程化为标准方程，C₁:(x + 2)² + (y - 3)² = 1，C₂:(x - 1)² + (y - 7)² = 50 - k.圆C₁的圆心为C₁(-2, 3)，半径r₁ = 1.圆C₂的圆心为C₂(1, 7)，半径r₂ = √(50 - k)(k ＜ 50).从而|C₁C₂| = √[(-2 - 1)² + (3 - 7)²] = 5.当两圆外切时，1 + √(50 - k) = 5，即k = 34;当两圆内切时，|√(50 - k) - 1| = 5，即√(50 - k) = 6，即k = 14;当两圆相交时，|√(50 - k) - 1| ＜ 5 ＜ 1 + √(50 - k)，即k∈(14, 34);当两圆外离时，1 + √(50 - k) ＜ 5，即k∈(34, 50);当两圆内含时，|√(50 - k) - 1| ＞ 5，即k∈(-∞, 14).

答案：
(1)−9或11
(2)[解析]将两圆的一般方程化为标准方程，C₁:(x + 2)² + (y - 3)² = 1，C₂:(x - 1)² + (y - 7)² = 50 - k.圆C₁的圆心为C₁(-2, 3)，半径r₁ = 1.圆C₂的圆心为C₂(1, 7)，半径r₂ = √(50 - k)(k ＜ 50).从而|C₁C₂| = √[(-2 - 1)² + (3 - 7)²] = 5.当两圆外切时，1 + √(50 - k) = 5，即k = 34;当两圆内切时，|√(50 - k) - 1| = 5，即√(50 - k) = 6，即k = 14;当两圆相交时，|√(50 - k) - 1| ＜ 5 ＜ 1 + √(50 - k)，即k∈(14, 34);当两圆外离时，1 + √(50 - k) ＜ 5，即k∈(34, 50);当两圆内含时，|√(50 - k) - 1| ＞ 5，即k∈(-∞, 14).

1. 若圆$x^2 + y^2 - 2ax + a^2 = 2$和$x^2 + y^2 - 2by + b^2 = 1$外离,则$a$,$b满足的条件是\underline{a² + b² ＞ 3 + 2√2}$.

答案： a² + b² ＞ 3 + 2√2

2. 求与圆$x^2 + y^2 = 1和(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$都相切的直线的方程.
课时巩固请使用 课时作业本 十

答案：
[解析]圆x² + y² = 1的圆心为O(0, 0)，半径为1;圆(x - 3)² + (y - 4)² = 16的圆心O₁为(3, 4)，半径为4.两圆的圆心距为√(3² + 4²) = 5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图所示.当切线为l时，因为kOO₁ = 4/3，所以kl = -3/4，设方程为y = -3/4x + t(t ＞ 0)，O到l的距离d = |t|/√(1 + 9/16) = 1，解得t = 5/4，所以切线的方程为y = -3/4x + 5/4.当切线为m时，设直线方程为kx + y + p = 0，其中p ＞ 0，k ＜ 0，由题意{ |p|/√(1 + k²) = 1，|3k + 4 + p|/√(1 + k²) = 4，解得{k = -7/24，p = 25/24，所以切线的方程为-7x + 24y + 25 = 0.当切线为n时，易知切线方程为x = -1.