《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

4. 直线的方向向量
若 $ k $ 是直线 $ l $ 的斜率,则 $ \boldsymbol{v} = $ $(1,k)$是它的一个方向向量；若直线 $ l $ 的一个方向向量的坐标为 $ (x,y) $,其中 $ x \neq 0 $,则它的斜率 $ k = $ $\frac {y}{x}$.

答案： $(1,k)$ $\frac {y}{x}$

【典例 1】(1)(多选题)下列说法中,正确的是(AB)
A.直线倾斜角的范围是 $[0,\pi)$
B.斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等
C.任何一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角
D.任何一条直线都有倾斜角和斜率

答案： AB

(2) 如图所示,已知直线 $ l_1 $,$ l_2 $,$ l_3 $ 的斜率分别为 $ k_1 $,$ k_2 $,$ k_3 $,则(D)

A.$ k_1 ＜ k_2 ＜ k_3 $

B.$ k_3 ＜ k_1 ＜ k_2 $
C.$ k_3 ＜ k_2 ＜ k_1 $
D.$ k_1 ＜ k_3 ＜ k_2 $

答案： D

(3) 已知直线 $ PQ $ 的斜率为 $ -\sqrt{3} $,将直线绕着点 $ P $ 顺时针旋转 $ 60^{\circ} $ 所得的直线的斜率是(C)
A.$ 0 $
B.$ -\frac{\sqrt{3}}{3} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ -\sqrt{3} $

答案： C

1. 设直线 $ l $ 过坐标原点,它的倾斜角为 $ \alpha $. 如果将 $ l $ 绕坐标原点按逆时针方向旋转 $ 45^{\circ} $ 得到直线 $ l_1 $,那么 $ l_1 $ 的倾斜角为(D)
A.$ \alpha + 45^{\circ} $
B.$ \alpha - 135^{\circ} $
C.$ 135^{\circ} - \alpha $
D.当 $ 0^{\circ} \leq \alpha ＜ 135^{\circ} $ 时,倾斜角为 $ \alpha + 45^{\circ} $；当 $ 135^{\circ} \leq \alpha ＜ 180^{\circ} $ 时,倾斜角为 $ \alpha - 135^{\circ} $

答案： D

2. 直线 $ x = -\tan \frac{\pi}{4} $ 的倾斜角是(B)
A.$ 0 $
B.$ \frac{\pi}{2} $
C.$ \frac{3\pi}{4} $
D.$ \frac{\pi}{4} $

答案： B

3. 如图所示,已知直线 $ l_1 $ 的倾斜角 $ \alpha_1 $ 为 $ 15^{\circ} $,直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 的交点为 $ A $,直线 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 向上的方向之间所成的角为 $ 120^{\circ} $,则直线 $ l_2 $ 的倾斜角为 ______.

135°

答案： $135^{\circ }$

【典例 2】(1) 已知 $ A(-\sqrt{3},2) $,$ B(\sqrt{3},0) $,则直线 $ AB $ 的倾斜角为(D)
A.$ 30^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 120^{\circ} $
D.$ 150^{\circ} $

答案： D

(2) 若经过 $ A(4,y) $,$ B(2,-3) $ 两点的直线的倾斜角是 $ \frac{3\pi}{4} $,则 $ y $ 的值是(D)
A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ 5 $
D.$ -5 $

答案： D

(3) 若直线过点 $ C(1,3) $,$ D(4,3 + \sqrt{3}) $,则此直线的一个方向向量为$(3,\sqrt {3})$(答案不唯一)；倾斜角为$\frac {π}{6}$.

答案： $(3,\sqrt {3})$(答案不唯一) $\frac {π}{6}$