《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 如图,i,j,k 是空间中三个两两垂直的向量,根据图形回答问题：

(1)对于图形中的向量$\overrightarrow{OQ}$，如何用向量$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$表示？
(2)对于图形中的向量$\overrightarrow{OP}$，如何用$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{k}$表示？

答案：
(1)提示:由于i,j是平面内的两个不共线的向量,由平面向量基本定理可知:存在唯一的有序实数对(x,y),有$\overrightarrow {OQ}=xi+yj.$
(2)提示:因为根据平面向量基本定理有$\overrightarrow {OQ}=xi+yj$,又$\overrightarrow {OP}=$$\overrightarrow {OQ}+\overrightarrow {QP}$,而$\overrightarrow {QP}=zk$,所以$\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {OQ}+\overrightarrow {QP}=xi+yj+zk.$

问题 2. 平面向量的基底要求两个基向量不共线,那么空间中任意向量 $a$,如果用空间向量表示,至少需要几个向量？这几个向量有何位置关系？

答案： 提示:至少需要用三个向量,且三个向量不共面.

空间向量基本定理
(1) 定理：如果向量 $a$,$b$,$c$ 是空间三个不共面的向量,$p$ 是空间任意一个向量,那么存在唯一的三元有序实数组 $(x,y,z)$,使得 $p= $$xa+yb+zc$.
(2) 基与基向量：
如果向量 $a$,$b$,$c$ 是空间三个不共面向量,那么所有的空间向量组成的集合就是 $\{p|p = xa + yb + zc,x,y,z\in\mathbf{R}\}$,这个集合可以看成是由向量 $a$,$b$,$c$ 生成的,这时$\{ a,b,c\} $叫作空间向量的一组基,其中 $a$,$b$,$c$ 都叫作基向量. 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基.

答案：
(1)$xa+yb+zc$
(2)$\{ a,b,c\} $

【典例 1】(1) (多选题)若 $\{a,b,c\}$ 是空间的一组基,则下列向量中可以和 $a + 3b$,$b - 2c$ 构成空间的一组基的是 (CD)
A. $a + 6c$
B. $a + b + 4c$
C. $-a + 3b + 2c$
D. $-2a - b + 4c$
(2) 已知 $\{e_1,e_2,e_3\}$ 是空间的一组基,且 $\overrightarrow{OA}= 3e_1+2e_2-e_3$,$\overrightarrow{OB}= -3e_1+e_2+e_3$,$\overrightarrow{OC}= 2e_1+e_2+2e_3$,试判断 $\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}$ 能否作为空间的一组基.

答案：
(1)CD
(2)【解析】假设$\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}$共面,由向量共面的充要条件知,存在实数x,y,使得$\overrightarrow {OA}=x\overrightarrow {OB}+y\overrightarrow {OC}$成立,即$3e_{1}+2e_{2}-e_{3}=$$x(-3e_{1}+e_{2}+e_{3})+y(2e_{1}+e_{2}+2e_{3})=(-3x+2y)e_{1}+(x+$$y)e_{2}+(x+2y)e_{3}.$
因为$\{ e_{1},e_{2},e_{3}\} $是空间向量的一组基,所以$e_{1},e_{2},e_{3}$不共面,所以$\left\{\begin{array}{l} -3x+2y=3,\\ x+y=2,\\ x+2y=-1,\end{array}\right. $此方程组无解.即不存在实数x,y,使得$\overrightarrow {OA}=x\overrightarrow {OB}+y\overrightarrow {OC}$成立,所以$\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}$不共面.故$\{ \overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}\} $能作为空间的一组基.