《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题1. 我们已经学习的平面向量的坐标运算有哪几种？

答案： 问题1.提示:平面向量的坐标运算主要有平面向量的加减、数乘、数量积运算.

问题2. 如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？

答案： 问题2.提示:空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一个竖坐标，其运算法则相似.

问题3. 在平面内,非零向量$\boldsymbol{a}= (a_{1},a_{2})$,$\boldsymbol{b}= (b_{1},b_{2})$共线、垂直的充要条件是什么？其夹角公式是什么？

答案： 问题3.提示:共线的充要条件:存在实数λ，使a=λb，用坐标表示为a₁=λb₁,a₂=λb₂.垂直的充要条件:a·b=0，用坐标表示为:a₁b₁+a₂b₂=0.夹角公式:$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$.

问题4. 对于问题3中的问题,类比到空间中你能得到什么结论？

答案： 问题4.提示:用文字语言描述:空间向量平行，对应坐标成比例;空间向量垂直，则数量积为0，即对应坐标相乘后求和为0，空间向量的模等于对应坐标的平方和再开方.

1. 标准正交基
在空间直角坐标系$O-xyz$中,分别沿$x$轴、$y$轴、$z轴正方向作单位向量\boldsymbol{i}$,$\boldsymbol{j}$,$\boldsymbol{k}$,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一组基$\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$,这组基叫作标准正交基. 单位向量$\boldsymbol{i}$,$\boldsymbol{j}$,$\boldsymbol{k}$都叫作坐标向量.

答案： 标准正交基 坐标向量

2. 空间向量的坐标
根据空间向量基本定理,对于任意一个向量$\boldsymbol{p}$,都存在唯一的三元有序实数组$(x,y,z)$,使得$\boldsymbol{p}= x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$. $x\boldsymbol{i}$,$y\boldsymbol{j}$,$z\boldsymbol{k}实际上分别是向量\boldsymbol{p}在\boldsymbol{i}$,$\boldsymbol{j}$,$\boldsymbol{k}$方向上所作的投影向量,把三元有序实数组$(x,y,z)叫作向量\boldsymbol{p}在标准正交基\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$下的坐标. 记作$\boldsymbol{p}= (x,y,z)$.

答案： 坐标

3. 空间向量的坐标运算
设向量$\boldsymbol{a}= (x_{1},y_{1},z_{1})$,$\boldsymbol{b}= (x_{2},y_{2},z_{2})$,那么
$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=$$(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=$$(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2},z_{1}-z_{2})$，$\lambda\boldsymbol{a}=$$(\lambda x_{1},\lambda y_{1},\lambda z_{1})$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$$x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$。

答案： $(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$$(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2},z_{1}-z_{2})$$(\lambda x_{1},\lambda y_{1},\lambda z_{1})$$x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$

二、空间向量平行(共线)和垂直的条件
设向量$\boldsymbol{a}= (x_{1},y_{1},z_{1})$,$\boldsymbol{b}= (x_{2},y_{2},z_{2})$.
1. 当$\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0}$时,$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbf{R}$,使得$\begin{cases}x_{1}= \lambda x_{2},\\y_{1}= \lambda y_{2},\\z_{1}= \lambda z_{2}.\end{cases} $
2. 当$\boldsymbol{b}$与三个坐标平面都不平行(即$x_{2}y_{2}z_{2}\neq0$)时,$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\frac{x_{1}}{x_{2}}= \frac{y_{1}}{y_{2}}= \frac{z_{1}}{z_{2}}$.
3. $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}= 0\Leftrightarrow$$x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}=0$.

答案： $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}=0$