《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题1.
如图所示,直线 $ l $ 过定点 $ P_0(x_0,y_0) $ 且斜率为 $ k $,那么 $ l $ 上任一点 $ P(x,y) $ 的坐标满足什么关系？

答案： 由斜率公式得$k=\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}$，即$y-y_{0}=k(x-x_{0})$。经过点$P_{0}(x_{0},y_{0})$且斜率为$k$的直线$l$上的每一点的坐标都满足该关系；坐标满足该关系的每一点都在经过点$P_{0}(x_{0},y_{0})$且斜率为$k$的直线$l$上。

问题2.
斜率为 $ k $ 且与 $ y $ 轴的交点为 $ (0,b) $ 的直线的点斜式方程是什么？

答案： 由点斜式方程的特点知，斜率为$k$且经过点$(0,b)$的直线的点斜式方程为$y-b=k(x-0)$。

2. 直线的点斜式方程和斜截式方程
已知直线 $ l $ 经过点 $ P_{0}(x_{0},y_{0}) $，且斜率为 $ k $，则直线 $ l $ 的点斜式方程为 $ y - y_{0} = $$ k(x - x_{0}) $。当直线 $ l $ 的斜率为 $ k $，且与 $ y $ 轴的交点为 $ (0,b) $ 时，直线 $ l $ 的斜截式方程为 $ y = $$ kx + b $。

答案： $k(x-x_{0})$；$kx+b$

3. 直线在 $ y $ 轴上的截距
定义：直线 $ l $ 与 $ y $ 轴交点 $ (0,b) $ 的纵坐标$b$.
符号：可正,可负,也可为零.

答案： 纵坐标$b$

【典例1】根据条件写出下列直线的方程,并画出图形.
(1) 经过点 $ A(-1,4) $,斜率 $ k = -3 $；
(2) 经过坐标原点,倾斜角为 $ 45^{\circ} $；
(3) 经过点 $ B(3,-5) $,倾斜角为 $ 90^{\circ} $；
(4) 经过点 $ C(2,8) $,$ D(-3,-2) $.

答案：
(1)$y-4=-3(x+1)$；
(2)$y=x$；
(3)$x=3$；
(4)$y-8=2(x-2)$