《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例1】青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品,也是中国瓷器的主流品种之一.下图是一青花瓷花瓶颈部,其外形上下对称,可看成双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍,花瓶恰好能放入与其等高的棱长为40 cm的正方体包装箱内(箱壁的厚度不计).
(1)求双曲线这部分的方程；
(2)求双曲线的离心率.

答案：
【解析】
(1)由题意作出轴截面，如图，M点是双曲线与截面正方形的交点之一，

设双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a＞0,b＞0)$．由题意，瓶口直径为 40 cm，最短瓶身直径为$A_{1}A_{2}=20$，所以$a=10,M(20,20)$．故$\frac{400}{100}-\frac{400}{b^{2}}=1$，解得$b^{2}=\frac{400}{3}$，所以双曲线这部分的方程为$\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{\frac{400}{3}}=1(10\leqslant|x|\leqslant20)$．
(2)$c^{2}=100+\frac{400}{3}=\frac{700}{3}$，所以$c=\frac{10\sqrt{21}}{3}$，所以$e=\frac{\sqrt{21}}{3}$．

景德镇陶瓷世界闻名,其中青花瓷最受大家的喜爱.如图1所示,这个精美的青花瓷花瓶,它的颈部(如图2所示)外形上下对称,基本可看作是离心率为$\frac{\sqrt{34}}{3}$的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面,若该颈部中最细处直径为16 cm,颈部高为20 cm,求瓶口直径.

答案： 【解析】由题意知双曲线焦点在 x 轴上，所以设双曲线方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，由双曲线的性质可知，该颈部中最细处直径为实轴长，所以$2a=16$，可得$a=8$．因为离心率为$\frac{\sqrt{34}}{3}$，即$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{34}}{3}$，可得$c=\frac{\sqrt{34}}{3}a=\frac{8\sqrt{34}}{3}$，所以$b^{2}=c^{2}-a^{2}=(\frac{8\sqrt{34}}{3})^{2}-8^{2}=\frac{1600}{9}$，所以双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{64}-\frac{9y^{2}}{1600}=1$，因为颈部高为 20 cm，根据对称性可知颈部最右点纵坐标为 10，将$y=10$代入双曲线可得$\frac{x^{2}}{64}-\frac{9×100}{1600}=1$，解得$x=\pm 10$，所以瓶口直径为 20 cm．